Questão 1. Seja \left\{X_{n}, n=0,1,2, \cdots\right\}\) um processo de Bernoulli com probabilidade de sucesso \(p\). Isto é, para cada \(n, X_{n}\) pode assumir os valores 0 e 1 com probabilidades \(1-p\) e \(p\), respectivamente, e, para cada \(m \neq n, X_{m}\) e \(X_{n}\) são independentes. A função de probabilidade de ordem 3 de \(\left\{X_{n}, n=0,1,2, \cdots\right\}\), nos tempos 0,1 e 2 , é (a) \(p\left(x_{0}, x_{1}, x_{2} ; 0,1,2\right)= \begin{cases}(1-p)^{3}, & \text { se }\left(x_{0}, x_{1}, x_{2}\right)=(0,0,0) ; \\\ p^{2}(1-p), & \text { se }\left(x_{0}, x_{1}, x_{2}\right) \in\{(0,0,1),(0,1,0),(1,0,0)\} ; \\\ p(1-p)^{2}, & \text { se }\left(x_{0}, x_{1}, x_{2}\right) \in\{(0,1,1),(1,0,1),(1,1,0)\} ; \\\ p^{3}, & \text { se }\left(x_{0}, x_{1}, x_{2}\right)=(1,1,1) .\end{cases}
(b) p\left(x_{0}, x_{1}, x_{2} ; 0,1,2\right)= \begin{cases}(1-p)^{3}, & \text { se }\left(x_{0}, x_{1}, x_{2}\right)=(0,0,0) ; \\\ p(1-p)^{2}, & \text { se }\left(x_{0}, x_{1}, x_{2}\right) \in\{(0,0,1),(0,1,0),(1,0,0)\} ; \\\ p^{2}(1-p), & \text { se }\left(x_{0}, x_{1}, x_{2}\right) \in\{(0,1,1),(1,0,1),(1,1,0)\} ; \\\ p^{3}, & \text { se }\left(x_{0}, x_{1}, x_{2}\right)=(1,1,1) .\end{cases}
(c) p\left(x_{0}, x_{1}, x_{2} ; 0,1,2\right)= \begin{cases}(1-p)^{3}, & \text { se }\left(x_{0}, x_{1}, x_{2}\right)=(0,0,0) ; \\\ p(1-p), & \text { se }\left(x_{0}, x_{1}, x_{2}\right) \in\{(0,0,1),(0,1,0),(1,0,0)\} ; \\\ p^{2}(1-p), & \text { se }\left(x_{0}, x_{1}, x_{2}\right) \in\{(0,1,1),(1,0,1),(1,1,0)\} ; \\\ p^{3}, & \text { se }\left(x_{0}, x_{1}, x_{2}\right)=(1,1,1) .\end{cases}
(d) p\left(x_{0}, x_{1}, x_{2} ; 0,1,2\right)= \begin{cases}(1-p)^{3}, & \text { se }\left(x_{0}, x_{1}, x_{2}\right)=(0,0,0) ; \\\ p(1-p)^{2}, & \text { se }\left(x_{0}, x_{1}, x_{2}\right) \in\{(0,0,1),(0,1,0),(1,0,0)\} ; \\\ p(1-p), & \text { se }\left(x_{0}, x_{1}, x_{2}\right) \in\{(0,1,1),(1,0,1),(1,1,0)\} ; \\\ p^{3}, & \text { se }\left(x_{0}, x_{1}, x_{2}\right)=(1,1,1) .\end{cases}

Passo 1

O enunciado dá um processo \{X_n,n=0,1,2,\ldots\} que é Bernoulli com parâmetro p. Para cada n temos que X_n pode valer 0 ou 1 com
P(X_n=1)=p,\qquad P(X_n=0)=1-p,
e as variáveis são independentes entre si quando m\neq n. A tarefa é determinar a função de probabilidade conjunta de ordem 3 nos instantes 0,1,2, ou seja, encontrar
p(x_0,x_1,x_2;0,1,2)=P(X_0=x_0,\;X_1=x_1,\;X_2=x_2)
para todos os (x_0,x_1,x_2)\in\{0,1\}^3, e escolher qual das alternativas (a), (b), (c) ou (d) corresponde à correta. As informações relevantes dadas são: a distribuição marginal de cada X_n e a independência entre diferentes X_n. Não iniciamos a resolução aqui, só listei o que o problema pede e os dados fornecidos.

Passo 2

Entender o que significa independência e como calcular a probabilidade conjunta: se X_0,X_1,X_2 são independentes, a probabilidade conjunta fatoriza como o produto das marginais. Ou seja,
P(X_0=x_0,\;X_1=x_1,\;X_2=x_2)=P(X_0=x_0)\,P(X_1=x_1)\,P(X_2=x_2).
Explicando devagar: cada fator P(X_i=x_i) é p se x_i=1 e é 1-p se x_i=0. Então, para calcular a probabilidade de um triplo nós multiplicamos um p para cada componente igual a 1 e multiplicamos um 1-p para cada componente igual a 0. Esse é o princípio básico que vamos usar — independente das posições, só importa quantos 1 e quantos 0 aparecem no triplo.

Passo 3

Formalizando a ideia do passo anterior: seja k o número de componentes iguais a 1 no vetor (x_0,x_1,x_2). Então há 3-k zeros. Pela fatorização temos imediatamente
P(X_0=x_0,\;X_1=x_1,\;X_2=x_2)=p^{k}(1-p)^{3-k}.
Explicando cada símbolo:
  • k é o número de sucessos (valores 1) no triplo (x_0,x_1,x_2);
  • p^{k} vem de multiplicar p uma vez para cada componente igual a 1;
  • (1-p)^{3-k} vem de multiplicar 1-p uma vez para cada componente igual a 0.
Exemplos concretos (para fixar):
  • Para (x_0,x_1,x_2)=(1,0,1) temos k=2, então
P(1,0,1)=p^{2}(1-p).
  • Para (x_0,x_1,x_2)=(0,0,1) temos k=1, então
P(0,0,1)=p(1-p)^{2}.

Passo 4

Listando todas as possibilidades agrupadas por k:
  • Se k=0 (nenhum 1): só o vetor (0,0,0). Então
P(0,0,0)=(1-p)^{3}.
  • Se k=1 (exatamente um 1): os vetores (0,0,1),(0,1,0),(1,0,0). Para cada um deles
P(\text{um }1)=p(1-p)^{2}.
  • Se k=2 (exatamente dois 1s): os vetores (0,1,1),(1,0,1),(1,1,0). Para cada um
P(\text{dois }1\text{s})=p^{2}(1-p).
  • Se k=3 (três 1s): o vetor (1,1,1). Então
P(1,1,1)=p^{3}.
Esses são todos os casos — note que a probabilidade depende apenas de quantos 1s aparecem, não da ordem.

Passo 5

Agora comparamos a forma encontrada com as alternativas do enunciado. O que deduzimos foi:
\begin{cases} (1-p)^{3}, & (x_0,x_1,x_2)=(0,0,0);\\[4pt] p(1-p)^{2}, & (x_0,x_1,x_2)\in\{(0,0,1),(0,1,0),(1,0,0)\};\\[4pt] p^{2}(1-p), & (x_0,x_1,x_2)\in\{(0,1,1),(1,0,1),(1,1,0)\};\\[4pt] p^{3}, & (x_0,x_1,x_2)=(1,1,1). \end{cases}
Comparando cada linha com as alternativas dadas, vemos que essa correspondência é exatamente a alternativa (b). As outras alternativas trocam os fatores para os casos com um ou dois sucessos e por isso estão incorretas.]

Resposta

(b)

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