Questão 2. [1, p. 68] Considere o processo estocástico
para o qual
Marque a única opção correta.
(a) Esse processo não é estacionário no sentido amplo, pois sua função média, a qual é dada por
, depende do tempo.
(b) Esse processo é estacionário no sentido amplo, pois sua função de autocovariância depende de
e
apenas através de
e sua função média, a qual é dada por
é constante com relação ao tempo.
(c) Esse processo não é estacionário no sentido amplo, pois ele não é estacionário no sentido estrito.
(d) Esse processo é estacionário no sentido amplo, pois sua função de autocovariância depende de
e
apenas através de
e sua função média, a qual é dada por
é constante com relação ao tempo.
(a) Esse processo não é estacionário no sentido amplo, pois sua função média, a qual é dada por
(b) Esse processo é estacionário no sentido amplo, pois sua função de autocovariância depende de
(c) Esse processo não é estacionário no sentido amplo, pois ele não é estacionário no sentido estrito.
(d) Esse processo é estacionário no sentido amplo, pois sua função de autocovariância depende de
Passo 1
O enunciado pede que eu marque a única opção correta entre (a), (b), (c) e (d). As informações relevantes dadas pelo enunciado são:
Não me é pedido para construir o processo, apenas identificar qual das alternativas descreve corretamente as propriedades de média e estacionariedade do processo com essas funções.
Passo 2
Vou lembrar uma relação fundamental entre as funções dadas. Seja
a função média,
a função de segunda ordem (momento cruzado) e
a função de autocovariância. A identidade que sempre vale é
Explicando essa fórmula:
mede a covariância entre
e
;
é o valor esperado do produto
; subtrair o produto das médias remove o efeito da média para deixar apenas a parte de variação conjunta.
Passo 3
Substituo as expressões fornecidas de
e
na identidade:
Cancelando o mesmo termo
dos dois lados, obtenho
ou seja
Passo 4
Da igualdade
vale em particular para
, o que dá
Mas atenção: a condição
para quaisquer
impede que a função média mude de sinal entre instantes diferentes. Se existisse
com
e
com
, então
, contradizendo a igualdade anterior. Logo, a única possibilidade consistente é que a média seja constante e igual a
para todo
ou constante e igual a
para todo
:
Passo 5
Agora verifico a condição sobre a autocovariância que caracteriza a estacionariedade em sentido amplo: ela deve depender de
e
apenas através da defasagem
(ou
se for simétrica). A função fornecida é
que depende somente de
. Portanto a autocovariância satisfaz a condição de invariança por deslocamento no tempo necessária para estacionaridade no sentido amplo.
Juntando: a média é constante (igual a
ou
) e a autocovariância depende só de
. Essas duas propriedades implicam que o processo é estacionário no sentido amplo.
Passo 6
Comparo com as alternativas:
- (a) afirma que
— falso, já vimos que é constante . - (b) dá média
ou — falso, magnitude errada. - (c) diz que não é estacionário no sentido amplo porque não é estritamente estacionário — essa conclusão está incorreta: a questão pede estacionariedade no sentido amplo e nós mostramos que as condições do sentido amplo são satisfeitas; a não-estrita estacionariedade (sentido estrito) não anula a estacionariedade em sentido amplo.
- (d) diz que é estacionário no sentido amplo e que
ou constantes — isto coincide exatamente com o que deduzi acima.
Portanto a única opção correta é a (d).
Resposta
(d)