Questão 2. [1, p. 68] Considere o processo estocástico \{X(t), t \geq 0\} para o qual
R_{X}\left(t_{1}, t_{2}\right)=\frac{1}{\left|t_{2}-t_{1}\right|+1}+4 \quad \text { e } \quad C_{X}\left(t_{1}, t_{2}\right)=\frac{1}{\left|t_{2}-t_{1}\right|+1}
Marque a única opção correta.
(a) Esse processo não é estacionário no sentido amplo, pois sua função média, a qual é dada por m_{X}(t)=2 t, depende do tempo.
(b) Esse processo é estacionário no sentido amplo, pois sua função de autocovariância depende de t_{1} e t_{2} apenas através de \left|t_{1}-t_{2}\right| e sua função média, a qual é dada por
m_{X}(t)=1, \forall t>0 \quad \text { ou } \quad m_{X}(t)=-1 \forall t>0,
é constante com relação ao tempo.
(c) Esse processo não é estacionário no sentido amplo, pois ele não é estacionário no sentido estrito.
(d) Esse processo é estacionário no sentido amplo, pois sua função de autocovariância depende de t_{1} e t_{2} apenas através de \left|t_{1}-t_{2}\right| e sua função média, a qual é dada por
m_{X}(t)=2, \forall t>0 \quad \text { ou } \quad m_{X}(t)=-2, \forall t>0
é constante com relação ao tempo.

Passo 1

O enunciado pede que eu marque a única opção correta entre (a), (b), (c) e (d). As informações relevantes dadas pelo enunciado são:
R_{X}\left(t_{1}, t_{2}\right)=\frac{1}{\left|t_{2}-t_{1}\right|+1}+4
C_{X}\left(t_{1}, t_{2}\right)=\frac{1}{\left|t_{2}-t_{1}\right|+1}
Não me é pedido para construir o processo, apenas identificar qual das alternativas descreve corretamente as propriedades de média e estacionariedade do processo com essas funções.

Passo 2

Vou lembrar uma relação fundamental entre as funções dadas. Seja m_{X}(t) a função média, R_{X}(t_{1},t_{2})=\mathbb{E}[X(t_{1})X(t_{2})] a função de segunda ordem (momento cruzado) e C_{X}(t_{1},t_{2}) a função de autocovariância. A identidade que sempre vale é
C_{X}(t_{1},t_{2})=R_{X}(t_{1},t_{2})-m_{X}(t_{1})\,m_{X}(t_{2}).
Explicando essa fórmula: C_{X}(t_{1},t_{2}) mede a covariância entre X(t_{1}) e X(t_{2}); R_X é o valor esperado do produto X(t_{1})X(t_{2}); subtrair o produto das médias remove o efeito da média para deixar apenas a parte de variação conjunta.

Passo 3

Substituo as expressões fornecidas de R_{X} e C_{X} na identidade:
\frac{1}{\left|t_{2}-t_{1}\right|+1}= \frac{1}{\left|t_{2}-t_{1}\right|+1}+4 - m_{X}(t_{1})\,m_{X}(t_{2}).
Cancelando o mesmo termo \dfrac{1}{\left|t_{2}-t_{1}\right|+1} dos dois lados, obtenho
0 = 4 - m_{X}(t_{1})\,m_{X}(t_{2}),
ou seja
m_{X}(t_{1})\,m_{X}(t_{2}) = 4 \qquad \text{para quaisquer } t_{1},t_{2}\ge 0.

Passo 4

Da igualdade m_{X}(t_{1})\,m_{X}(t_{2})=4 vale em particular para t_{1}=t_{2}=t, o que dá
m_{X}(t)^{2}=4 \quad\Rightarrow\quad m_{X}(t)=2 \text{ ou } m_{X}(t)=-2 \quad\text{para cada } t.
Mas atenção: a condição m_{X}(t_{1})\,m_{X}(t_{2})=4 para quaisquer t_{1},t_{2} impede que a função média mude de sinal entre instantes diferentes. Se existisse t_a com m_{X}(t_a)=2 e t_b com m_{X}(t_b)=-2, então m_{X}(t_a)m_{X}(t_b)=-4, contradizendo a igualdade anterior. Logo, a única possibilidade consistente é que a média seja constante e igual a 2 para todo t ou constante e igual a -2 para todo t:
m_{X}(t)\equiv 2 \quad\text{ou}\quad m_{X}(t)\equiv -2.

Passo 5

Agora verifico a condição sobre a autocovariância que caracteriza a estacionariedade em sentido amplo: ela deve depender de t_{1} e t_{2} apenas através da defasagem \tau=t_{2}-t_{1} (ou |t_{2}-t_{1}| se for simétrica). A função fornecida é
C_{X}\left(t_{1},t_{2}\right)=\frac{1}{\left|t_{2}-t_{1}\right|+1},
que depende somente de \left|t_{2}-t_{1}\right|. Portanto a autocovariância satisfaz a condição de invariança por deslocamento no tempo necessária para estacionaridade no sentido amplo.
Juntando: a média é constante (igual a 2 ou -2) e a autocovariância depende só de |t_{2}-t_{1}|. Essas duas propriedades implicam que o processo é estacionário no sentido amplo.

Passo 6

Comparo com as alternativas:
  • (a) afirma que m_{X}(t)=2t — falso, já vimos que m_{X} é constante \pm 2.
  • (b) dá média 1 ou -1 — falso, magnitude errada.
  • (c) diz que não é estacionário no sentido amplo porque não é estritamente estacionário — essa conclusão está incorreta: a questão pede estacionariedade no sentido amplo e nós mostramos que as condições do sentido amplo são satisfeitas; a não-estrita estacionariedade (sentido estrito) não anula a estacionariedade em sentido amplo.
  • (d) diz que é estacionário no sentido amplo e que m_{X}(t)=2 ou -2 constantes — isto coincide exatamente com o que deduzi acima.
Portanto a única opção correta é a (d).

Resposta

(d)

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