Questão 7: Em um experimento longevo, controlado em um ecossistema, uma equipe de biólogos estuda o crescimento de uma nova população de aves em um meio otimizado. Eles observaram que, a população de aves cresce até atingir um ponto de capacidade de suporte do ecossistema, a partir do qual começa a diminuir devido à escassez de nutrientes e outros problemas. A população de aves, P(t), medida em unidades de indivíduos, pode ser modelada pela seguinte função, onde t representa o tempo, em anos, após o início do experimento:
P(t)=-t^{2}+20 t+50
Com base nesse modelo matemático, calcule:
a) Qual era a população inicial da colônia de bactérias no momento do início do experimento ( t=0 )?
b) Em quantos anos a população de aves atinge a maior quantidade de indivíduos? Qual seria a quantidade de aves nesse momento?
c) Em que momento a população de aves será de 146 indivíduos?
Mostre as contas que validem sua resposta.

Passo 1

O enunciado dá a função que modela a população de aves em função do tempo:
P(t) = -t^{2} + 20t + 50
e pede três coisas:
a) A população inicial, isto é, P(0) (população no início do experimento, em t=0).
b) Em quantos anos a população atinge seu maior valor (o instante do máximo) e qual é esse valor (quantidade de aves nesse instante).
c) Em que instante(s) a população será 146 indivíduos (ou seja, resolver P(t)=146).
As informações relevantes fornecidas são a própria expressão de P(t) e que t está em anos; não há outras restrições explícitas sobre t (por exemplo, se só consideramos t\ge0), mas como é tempo, normalmente interpretamos t\ge0.

Passo 2

Resolvendo (a): calcular a população inicial P(0).
Explicação do método: para saber o valor da função no instante t=0 basta substituir t=0 na expressão. Substituir é simplesmente trocar a letra t pelo número 0 e calcular.
Cálculo:
P(0) = -0^{2} + 20\cdot 0 + 50.
Desenvolvendo passo a passo:
-0^{2} = 0,\qquad 20\cdot 0 = 0,
logo
P(0)=0+0+50=50.
Interpretação: a população inicial era de 50 indivíduos.

Passo 3

Resolvendo (b): encontrar o instante em que P(t) é máximo e o valor máximo.
Ideia e conceito usado: P(t) é um polinômio do segundo grau (uma parábola) da forma geral
P(t)=at^{2}+bt+c,
onde os coeficientes são a, b e c. Aqui, comparando com a expressão dada, temos a=-1, b=20 e c=50.
Propriedade importante: se a<0 a parábola abre para baixo e a função tem um valor máximo no vértice; se a>0 abre para cima e tem um mínimo. Como aqui a=-1<0, há um máximo.
Duas maneiras comuns de achar o vértice (tempo do máximo) são: (i) fórmula do vértice t_{\text{v}}=-\dfrac{b}{2a}; (ii) completar o quadrado para escrever P(t) como -(\text{quadrado})+\text{constante}. Vou mostrar a segunda (completar o quadrado), porque ela também dá o valor máximo de forma direta e é útil didaticamente.
Começamos por reescrever P(t):
P(t) = -t^{2}+20t+50.
Fatoramos o sinal negativo nos termos quadrático e linear:
P(t) = -\bigl(t^{2}-20t\bigr)+50.
Agora completamos o quadrado dentro do parêntese. Para t^{2}-20t o termo a adicionar e subtrair é \bigl(\frac{20}{2}\bigr)^{2}=10^{2}=100. Assim:
P(t) = -\bigl(t^{2}-20t+100-100\bigr)+50.
Agrupando:
P(t) = -\bigl((t-10)^{2}-100\bigr)+50.
Distribuindo o sinal negativo:
P(t) = -(t-10)^{2}+100+50.
Portanto
P(t) = -(t-10)^{2}+150.
Interpretação direta: a expressão está na forma -(\text{algo})+150. O termo -(t-10)^{2} é sempre menor ou igual a 0 (pois (t-10)^{2}\ge0), e atinge 0 precisamente quando t-10=0, ou seja, em t=10. Assim o valor máximo de P(t) é 150, obtido em t=10.
Também por confirmação pela fórmula do vértice:
t_{\text{v}}=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{20}{2\cdot(-1)}=-\dfrac{20}{-2}=10,
e substituindo em P(t) confirma P(10)=150.
Conclusão: o máximo ocorre em t=10 anos e a população máxima é 150 indivíduos.

Passo 4

Resolvendo (c): achar t tal que P(t)=146.
Método: resolver a equação quadrática -t^{2}+20t+50=146. Mostro passo a passo transformações algébricas e em seguida fatoração (e, se necessário, a fórmula de Bhaskara).
Começando:
-t^{2}+20t+50=146.
Passo 1: subtrair 146 dos dois lados para colocar em forma padrão 0=\cdots:
-t^{2}+20t+50-146=0.
Calcular 50-146=-96, então
-t^{2}+20t-96=0.
Multiplicamos a equação inteira por -1 para facilitar:
t^{2}-20t+96=0.
Agora tentamos fatorar: procuramos dois números cujo produto seja 96 e cuja soma seja -20. Como o termo linear é -20, os dois fatores devem somar 20 e ser ambos positivos (porque o termo constante é positivo). Observamos que 12\cdot 8=96 e 12+8=20. Logo a fatoração é
t^{2}-20t+96=(t-12)(t-8).
Assim a equação se anula quando t-12=0 ou t-8=0, isto é,
t=12\quad\text{ou}\quad t=8.
Verificação rápida (substituição para checar):
Para t=8,
P(8) = -8^{2}+20\cdot 8 +50 = -64 +160 +50 = 96+50 =146.
Para t=12,
P(12) = -12^{2}+20\cdot 12 +50 = -144 +240 +50 =96+50=146.
Interpretação: há dois instantes em que a população vale 146: um antes do pico (subida) em t=8 anos e outro depois do pico (descida) em t=12 anos. Como o máximo ocorre em t=10 com 150 aves, faz sentido haver dois tempos simétricos em torno do pico onde a população assume o mesmo valor.

Resposta

(a) P(0)=50 indivíduos.
(b) t=10 anos; P(10)=150 indivíduos.
(c) t=8 anos e t=12 anos.

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