Questão 7: Em um experimento longevo, controlado em um ecossistema, uma equipe de biólogos estuda o crescimento de uma nova população de aves em um meio otimizado. Eles observaram que, a população de aves cresce até atingir um ponto de capacidade de suporte do ecossistema, a partir do qual começa a diminuir devido à escassez de nutrientes e outros problemas. A população de aves,
, medida em unidades de indivíduos, pode ser modelada pela seguinte função, onde
representa o tempo, em anos, após o início do experimento:
Com base nesse modelo matemático, calcule:
a) Qual era a população inicial da colônia de bactérias no momento do início do experimento (
)?
b) Em quantos anos a população de aves atinge a maior quantidade de indivíduos? Qual seria a quantidade de aves nesse momento?
c) Em que momento a população de aves será de 146 indivíduos?
Mostre as contas que validem sua resposta.
a) Qual era a população inicial da colônia de bactérias no momento do início do experimento (
b) Em quantos anos a população de aves atinge a maior quantidade de indivíduos? Qual seria a quantidade de aves nesse momento?
c) Em que momento a população de aves será de 146 indivíduos?
Passo 1
O enunciado dá a função que modela a população de aves em função do tempo:
e pede três coisas:
a) A população inicial, isto é, (população no início do experimento, em
).
b) Em quantos anos a população atinge seu maior valor (o instante do máximo) e qual é esse valor (quantidade de aves nesse instante).
c) Em que instante(s) a população será indivíduos (ou seja, resolver
).
a) A população inicial, isto é,
b) Em quantos anos a população atinge seu maior valor (o instante do máximo) e qual é esse valor (quantidade de aves nesse instante).
c) Em que instante(s) a população será
As informações relevantes fornecidas são a própria expressão de
e que
está em anos; não há outras restrições explícitas sobre
(por exemplo, se só consideramos
), mas como é tempo, normalmente interpretamos
.
Passo 2
Resolvendo (a): calcular a população inicial
.
Explicação do método: para saber o valor da função no instante basta substituir
na expressão. Substituir é simplesmente trocar a letra
pelo número
e calcular.
Explicação do método: para saber o valor da função no instante
Cálculo:
Desenvolvendo passo a passo:
logo
Interpretação: a população inicial era de
indivíduos.
Passo 3
Resolvendo (b): encontrar o instante em que
é máximo e o valor máximo.
Ideia e conceito usado: é um polinômio do segundo grau (uma parábola) da forma geral
Ideia e conceito usado:
onde os coeficientes são
,
e
. Aqui, comparando com a expressão dada, temos
,
e
.
Propriedade importante: se
a parábola abre para baixo e a função tem um valor máximo no vértice; se
abre para cima e tem um mínimo. Como aqui
, há um máximo.
Duas maneiras comuns de achar o vértice (tempo do máximo) são: (i) fórmula do vértice
; (ii) completar o quadrado para escrever
como
. Vou mostrar a segunda (completar o quadrado), porque ela também dá o valor máximo de forma direta e é útil didaticamente.
Começamos por reescrever
:
Fatoramos o sinal negativo nos termos quadrático e linear:
Agora completamos o quadrado dentro do parêntese. Para
o termo a adicionar e subtrair é
. Assim:
Agrupando:
Distribuindo o sinal negativo:
Portanto
Interpretação direta: a expressão está na forma
. O termo
é sempre menor ou igual a
(pois
), e atinge
precisamente quando
, ou seja, em
. Assim o valor máximo de
é
, obtido em
.
Também por confirmação pela fórmula do vértice:
e substituindo em
confirma
.
Conclusão: o máximo ocorre em
anos e a população máxima é
indivíduos.
Passo 4
Resolvendo (c): achar
tal que
.
Método: resolver a equação quadrática . Mostro passo a passo transformações algébricas e em seguida fatoração (e, se necessário, a fórmula de Bhaskara).
Método: resolver a equação quadrática
Começando:
Passo 1: subtrair
dos dois lados para colocar em forma padrão
:
Calcular
, então
Multiplicamos a equação inteira por
para facilitar:
Agora tentamos fatorar: procuramos dois números cujo produto seja
e cuja soma seja
. Como o termo linear é
, os dois fatores devem somar
e ser ambos positivos (porque o termo constante é positivo). Observamos que
e
. Logo a fatoração é
Assim a equação se anula quando
ou
, isto é,
Verificação rápida (substituição para checar):
Para ,
Para
Para
,
Interpretação: há dois instantes em que a população vale
: um antes do pico (subida) em
anos e outro depois do pico (descida) em
anos. Como o máximo ocorre em
com
aves, faz sentido haver dois tempos simétricos em torno do pico onde a população assume o mesmo valor.
Resposta
(a)
indivíduos.
(b) anos;
indivíduos.
(c) anos e
anos.
(b)
(c)