Questão 9: Os biólogos observaram que, em condições ideais, o número de microorganismos Q(t) em uma cultura cresce exponencialmente com o tempo t, de acordo com a lei Q(t)=Q_{0} e^{k t}, sendo k>0 uma constante que depende da natureza dos microorganismos e Q_{0} é a quantidade inicial de microorganismos. Se uma cultura tem inicialmente 6.000 microorganismos e 20 minutos depois, aumentou para 12.000 , quantos microorganismos estarão presentes depois de 1 hora? Mostre as contas que validem sua resposta.

Passo 1

O enunciado dá a lei do crescimento exponencial e pede quantos microorganismos haverá depois de 1 hora. Informações fornecidas:
  • A lei é Q(t)=Q_{0} e^{k t}, com k>0.
  • Quantidade inicial: Q_{0}=6000 microorganismos.
  • Depois de 20 minutos, a quantidade é Q(20)=12000 microorganismos.
  • Pergunta: Q(60), a quantidade depois de 60 minutos (1 hora).

Passo 2

Vamos usar a fórmula dada e inserir os dados em t=20. Substituindo Q_{0}=6000 e Q(20)=12000 em
Q(t)=Q_{0} e^{k t},
obtemos
12000 = 6000\, e^{k\cdot 20}.
Agora vamos simplificar essa equação para encontrar k.

Passo 3

Dividindo ambos os lados da igualdade por 6000 temos
\frac{12000}{6000}= e^{20k}.
Como \frac{12000}{6000}=2, segue que
e^{20k}=2.
Para resolver para k aplicamos o logaritmo natural (função inversa da exponencial): se e^{A}=B então A=\ln B. Assim,
20k=\ln 2
e portanto
k=\frac{\ln 2}{20}.
Aqui \ln é o logaritmo natural (base e), e \ln 2 é apenas um número positivo (aproximadamente 0{,}6931), então k é positivo como esperado.

Passo 4

Agora calculamos Q(60) usando k=\frac{\ln 2}{20}. Substituindo na lei,
Q(60)=6000\, e^{k\cdot 60}=6000\, e^{60\cdot\frac{\ln 2}{20}}.
Simplificamos o expoente: 60\cdot\frac{\ln 2}{20}=3\ln 2. Então
Q(60)=6000\, e^{3\ln 2}.
Usamos a propriedade e^{\ln a}=a e a propriedade de potência e^{c\ln a}=(e^{\ln a})^{c}=a^{c}. Aplicando isso,
e^{3\ln 2}=2^{3}=8.
Logo
Q(60)=6000\cdot 8=48000.

Passo 5

Interpretação intuitiva (jeito rápido para a prova): como a população dobrou de 6000 para 12000 em 20 minutos, a cada 20 minutos ocorre uma duplicação. Em 60 minutos ocorrem 60/20=3 duplicações, portanto multiplicamos por 2^{3}=8: 6000\cdot 8=48000. Mesmo resultado, só que mais direto.

Resposta

48000 microorganismos.

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