Questão 9: Os biólogos observaram que, em condições ideais, o número de microorganismos
em uma cultura cresce exponencialmente com o tempo
, de acordo com a lei
, sendo
uma constante que depende da natureza dos microorganismos e
é a quantidade inicial de microorganismos. Se uma cultura tem inicialmente 6.000 microorganismos e 20 minutos depois, aumentou para 12.000 , quantos microorganismos estarão presentes depois de 1 hora? Mostre as contas que validem sua resposta.
Passo 1
O enunciado dá a lei do crescimento exponencial e pede quantos microorganismos haverá depois de 1 hora. Informações fornecidas:
- A lei é
, com . - Quantidade inicial:
microorganismos. - Depois de
minutos, a quantidade é microorganismos. - Pergunta:
, a quantidade depois de minutos (1 hora).
Passo 2
Vamos usar a fórmula dada e inserir os dados em
. Substituindo
e
em
obtemos
Agora vamos simplificar essa equação para encontrar
.
Passo 3
Dividindo ambos os lados da igualdade por
temos
Como
, segue que
Para resolver para
aplicamos o logaritmo natural (função inversa da exponencial): se
então
. Assim,
e portanto
Aqui
é o logaritmo natural (base
), e
é apenas um número positivo (aproximadamente
), então
é positivo como esperado.
Passo 4
Agora calculamos
usando
. Substituindo na lei,
Simplificamos o expoente:
. Então
Usamos a propriedade
e a propriedade de potência
. Aplicando isso,
Logo
Passo 5
Interpretação intuitiva (jeito rápido para a prova): como a população dobrou de
para
em
minutos, a cada
minutos ocorre uma duplicação. Em
minutos ocorrem
duplicações, portanto multiplicamos por
:
. Mesmo resultado, só que mais direto.