Questão 4. (10,0 / 30,0)

Uma tubulação de aço soldado moderadamente oxidado, \epsilon=0,40 \mathrm{~mm}, com seção reta quadrada de 0,10 \mathrm{mde} lado, transporta certa vazão de água como conduto forçado. Sendo a perda de carga unitária J=0,015 \mathrm{~m} / \mathrm{m}, determine o número de Reynolds de rugosidade, a tensão média de cisalhamento e classifique o escoamento.

Passo 1

O enunciado dá uma tubulação de secção quadrada de lado 0{,}10\\ \mathrm{m}, com rugosidade média \epsilon=0{,}40\\ \mathrm{mm}, escoamento forçado de água e perda de carga unitária J=0{,}015\\ \mathrm{m/m}. Pede-se o número de Reynolds de rugosidade \mathrm{Re}_k, a tensão média de cisalhamento na parede \tau_w e a classificação do escoamento em função de \mathrm{Re}_k. Para resolver, vamos:
  1. Calcular o diâmetro hidráulico D_h e o raio hidráulico R.
  2. Usar a relação J=\tau_w/(\gamma\,R) para obter \tau_w.
  3. Definir a velocidade de atrito u_*=\sqrt{\tau_w/\rho} e então \mathrm{Re}_k=(u_*\,\epsilon)/\nu.
  4. Classificar o regime de rugosidade segundo \mathrm{Re}_k.

Passo 2

A secção é quadrada de lado a=0{,}10\\ \mathrm{m}. Logo
A = a^2 = (0{,}10)^2 = 0{,}01\\ \mathrm{m^2},
P = 4\,a = 0{,}40\\ \mathrm{m},
e o diâmetro hidráulico é
D_h = \frac{4A}{P} = \frac{4\cdot0{,}01}{0{,}40} = 0{,}10\\ \mathrm{m}.
O raio hidráulico vale
R = \frac{A}{P} = \frac{0{,}01}{0{,}40} = 0{,}025\\ \mathrm{m}.

Passo 3

A tensão de cisalhamento média na parede obedece
J = \frac{\tau_w}{\gamma\,R},
onde \gamma=\rho g é o peso específico da água. Tomando \rho=1000\\ \mathrm{kg/m^3} e g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}, temos \gamma=9810\\ \mathrm{N/m^3}. Logo
\tau_w = \gamma\,R\,J = 9810 \times 0{,}025 \times 0{,}015 = 3{,}67875\\ \mathrm{Pa}.

Passo 4

A velocidade de atrito é
u_* = \sqrt{\frac{\tau_w}{\rho}} = \sqrt{\frac{3{,}67875}{1000}} = 0{,}06065\\ \mathrm{m/s}.
Convertendo a rugosidade para metros, \epsilon=0{,}40\\ \mathrm{mm}=0{,}0004\\ \mathrm{m}, e usando a viscosidade cinemática da água \nu=1{,}0\times10^{-6}\\ \mathrm{m^2/s}, o número de Reynolds de rugosidade fica
\mathrm{Re}_k = \frac{u_*\,\epsilon}{\nu} = \frac{0{,}06065 \times 0{,}0004}{1{,}0\times10^{-6}} \approx 24{,}3.

Passo 5

A classificação em função de \mathrm{Re}_k é:
  • \mathrm{Re}_k<5: regime hidraulicamente suave,
  • 5<\mathrm{Re}_k<70: regime de transição (rugosidade parcial),
  • \mathrm{Re}_k>70: regime totalmente rugoso.
Aqui \mathrm{Re}_k\approx24{,}3, logo o escoamento está na faixa de transição de rugosidade.

Resposta

\mathrm{Re}_k \approx 24{,}3
\tau_w \approx 3{,}68\\ \mathrm{Pa}
Escoamento em regime transitório de rugosidade (nem suave completo, nem totalmente rugoso).

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