Questão 5. (10,0 / 30,0)

Imagine uma tubulação de ferro fundido novo, \epsilon=0,50 \mathrm{~mm}, com diâmetro interno de 75 mm , assentada na horizontal e sendo abastecida por um reservatório aberto, de nível constante, com cota do N.A 2,5 \mathrm{~m} acima da cota de entrada da tubulação. Assumindo um coeficiente de perda de carga localizada na entrada da tubulação k=0,8, e sabendo que a extremidade de jusante da tubulação está aberta para a atmosfera, determine o valor do comprimento da tubulação, para que o número de Reynolds de rugosidade do escoamento seja 32,86 .

Passo 1

O enunciado descreve uma tubulação horizontal de diâmetro interno D=75\text{ mm} e rugosidade absoluta \epsilon=0,50\text{ mm} alimentada por um reservatório a 2{,}5\text{ m} acima da entrada da tubulação. Há uma perda localizada na entrada com coeficiente k=0{,}8 e a saída está aberta à atmosfera. Queremos determinar o comprimento L de modo que o número de Reynolds de rugosidade
\mathrm{Re}_\epsilon \;=\;\frac{v\,\epsilon}{\nu}
seja igual a 32{,}86. Para isso vamos usar:
  1. A equação de Bernoulli entre o nível do reservatório e a saída, incluindo perdas.
  2. A definição de \mathrm{Re}_\epsilon para relacionar a velocidade média v.
  3. A equação de Colebrook para obter o fator de atrito f.

Passo 2

Aplicando Bernoulli (entre o plano do reservatório, onde v\approx0 e pressão atmosférica, e a saída, também à pressão atmosférica) e somando as perdas, obtemos
H \;=\; \frac{v^2}{2g}\,\Bigl(k + f\,\frac{L}{D}\Bigr),
onde H=2{,}5\text{ m} e g=9{,}81\text{ m/s}^2.

Passo 3

Pela definição do número de Reynolds de rugosidade, temos
\mathrm{Re}_\epsilon \;=\;\frac{v\,\epsilon}{\nu} \quad\Longrightarrow\quad v \;=\;\frac{\mathrm{Re}_\epsilon\,\nu}{\epsilon}.

Passo 4

Usando \mathrm{Re}_\epsilon=32{,}86, \nu=1{,}0\times10^{-6}\,\mathrm{m^2/s} (água a 20^\circ\mathrm{C}) e \epsilon=0{,}50\text{ mm}=5{,}0\times10^{-4}\,\mathrm{m},
v =\frac{32{,}86\times1{,}0\times10^{-6}}{5{,}0\times10^{-4}} =0{,}06572\;\mathrm{m/s}.

Passo 5

Calculamos a rugosidade relativa
\frac{\epsilon}{D} =\frac{5{,}0\times10^{-4}}{7{,}5\times10^{-2}} =6{,}667\times10^{-3}.

Passo 6

Para obter o fator de atrito f resolvemos a equação de Colebrook–White
\frac{1}{\sqrt{f}} =-2\,\log_{10}\!\Bigl(\frac{\epsilon}{3{,}7\,D} \;+\;\frac{2{,}51}{\mathrm{Re}\,\sqrt{f}}\Bigr),
em que o Reynolds convencional é
\mathrm{Re} =\frac{v\,D}{\nu} =\frac{0{,}06572\times7{,}5\times10^{-2}}{1{,}0\times10^{-6}} \approx4{,}93\times10^{3}.
Iterando (ou usando aproximação de escoamento totalmente áspero seguida de correção) chega-se a
f\approx0{,}034.

Passo 7

Voltando à equação de Bernoulli, temos
2{,}5 =\frac{0{,}06572^2}{2\times9{,}81}\, \Bigl(0{,}8 + 0{,}034\,\frac{L}{0{,}075}\Bigr).
Calculando o termo dinâmico:
\frac{0{,}06572^2}{2\times9{,}81}\approx2{,}20\times10^{-4},
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2{,}5 =2{,}20\times10^{-4}\, \Bigl(0{,}8 + 0{,}034\,\frac{L}{0{,}075}\Bigr) \quad\Longrightarrow\quad 0{,}8 + 0{,}034\,\frac{L}{0{,}075}} =\frac{2{,}5}{2{,}20\times10^{-4}} \approx1{,}14\times10^{4}.
Isolando L:
0{,}034\,\frac{L}{0{,}075} \approx1{,}14\times10^{4}-0{,}8 \approx1{,}14\times10^{4},
L \approx\frac{1{,}14\times10^{4}\times0{,}075}{0{,}034} \approx2{,}53\times10^{4}\;\mathrm{m}.

Resposta

O comprimento necessário da tubulação é aproximadamente
L\approx2,53\times10^{4}\text{ m}\quad(25{,}3\text{ km}).

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