Questão 1. (10,0/30,0)

Uma instalação de laboratório está constituída por um reservatório de nível fixo com cota relativa 3,0 \mathrm{~m} e uma tubulação na cota 0,5 \mathrm{~m} em todo seu comprimento, que entrega uma certa vazão livremente na atmosfera. Foi calculado que o número de Reynols de rugosidade do escoamento é de 35, 85. Qual é o comprimento da tubulação, se seu diâmetro é 75 mm ?
Assuma um coeficiente de perda de carga localizada na entrada da tubulação k=0,8.

Passo 1

O enunciado descreve um reservatório de água com nível fixo na cota de 3,0,m, ligado a uma tubulação de diâmetro D=75,mm que corre toda a sua extensão na cota de 0,5,m e descarrega livremente na atmosfera. Foi informado que o número de Reynolds do escoamento é \mathrm{Re}=3{,}585\times10^{4} e o coeficiente de perda localizada de entrada é k=0,8. O que nos interessa aqui é aplicar a equação de energia entre a superfície livre do reservatório (ponto 1) e a descarga (ponto 2), de modo a igualar a diferença de cotas à soma das perdas de carga (localizada + por atrito) e, daí, obter o comprimento L da tubulação.

Passo 2

Calcular a diferença de cotas entre os pontos 1 e 2, que é o “cabeça” disponível para vencer as perdas de carga:
\Delta z = z_1 - z_2 = 3{,}0 - 0{,}5 = 2{,}5\;\text{m}.

Passo 3

Determinar a velocidade média v na tubulação a partir de \mathrm{Re}. Usando a definição
\mathrm{Re} = \frac{D\,v}{\nu},
adotando para a água \nu = 1{,}0\times10^{-6},m²/s, temos
v = \frac{\mathrm{Re}\,\nu}{D} = \frac{3{,}585\times10^{4}\times1{,}0\times10^{-6}}{0{,}075} = 0{,}478\;\text{m/s}.

Passo 4

Como o escoamento é turbulento (Re ≫ 4000), podemos usar a fórmula de Blasius para o fator de atrito f em tubos lisos:
f = 0{,}3164\,\mathrm{Re}^{-0.25} = 0{,}3164\,(3{,}585\times10^{4})^{-0.25} = 0{,}0230\,.

Passo 5

Escrever a equação de energia entre 1 e 2 (desprezando velocidades de superfície e altura de pressão atmosférica):
\Delta z = k\,\frac{v^2}{2g} \;+\; f\,\frac{L}{D}\,\frac{v^2}{2g},
onde k=0{,}8 é o coeficiente de perda de entrada e g=9{,}81,m/s².

Passo 6

Calcular primeiro \dfrac{v^2}{2g}:
\frac{v^2}{2g} = \frac{(0{,}478)^2}{2\cdot9{,}81} = 0{,}01165\;\text{m}.
A perda localizada de entrada é
h_k = k\,\frac{v^2}{2g} = 0{,}8 \times 0{,}01165 = 0{,}00932\;\text{m}.
A perda por atrito por metro de tubulação é
\frac{h_f}{L} = f\,\frac{1}{D}\,\frac{v^2}{2g} = 0{,}0230\,\frac{1}{0{,}075}\,0{,}01165 = 0{,}0476\;\text{m/m}.
Substituindo em \Delta z = h_k + (h_f/L)\,L, temos
2{,}5 = 0{,}00932 + 0{,}0476\,L \quad\Longrightarrow\quad L = \frac{2{,}5 - 0{,}00932}{0{,}0476} = 52{,}3\;\text{m}.

Resposta

O comprimento da tubulação é aproximadamente 52{,}3,m.

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