Questão 10-31 (Roseta de 45^{\underline{\mathrm{O}}} - Essencial) “As deformações em um ponto, medidas por uma roseta de deformação de 45^{\mathrm{o}}, são \epsilon_{a}=600 \times 10^{-6}, \epsilon_{b}=-200 \times 10^{-6}, \epsilon_{c}=400 \times 10^{-6}. Determine as deformações principais no ponto.”

Passo 1

O enunciado dá uma roseta de deformação de 45^\circ com três leituras:
\epsilon_{a}=600\times10^{-6}, \epsilon_{b}=-200\times10^{-6} e \epsilon_{c}=400\times10^{-6}.
A tarefa é determinar as deformações principais no ponto.
Vou tomar a convenção usual para uma roseta de 45^\circ: os extensômetros estão orientados em \theta=0^\circ,\;45^\circ,\;90^\circ respectivamente. Ou seja:
  • \epsilon_a é a deformação medida em \theta=0^\circ,
  • \epsilon_b é a deformação medida em \theta=45^\circ,
  • \epsilon_c é a deformação medida em \theta=90^\circ.
Essas três medidas permitem encontrar as componentes do tensor de deformação plano \epsilon_x,\;\epsilon_y,\;\gamma_{xy} e, a partir delas, as deformações principais \epsilon_1 e \epsilon_2.

Passo 2

Apresento a fórmula de transformação de deformação (fórmula básica que vamos usar). A deformação normal numa direção que faz ângulo \theta com o eixo x é
\epsilon_\theta=\frac{\epsilon_x+\epsilon_y}{2}+\frac{\epsilon_x-\epsilon_y}{2}\cos 2\theta+\frac{\gamma_{xy}}{2}\sin 2\theta.
Explicando cada termo:
  • \epsilon_\theta é a deformação medida na direção a \theta.
  • \epsilon_x é a deformação normal na direção x.
  • \epsilon_y é a deformação normal na direção y.
  • \gamma_{xy} é a deformação de cisalhamento engineering (dupla inclinação) no sistema xy.
  • \cos2\theta e \sin2\theta aparecem porque a transformação depende do dobro do ângulo.
Com as três leituras em \theta=0^\circ,45^\circ,90^\circ teremos três equações lineares em \epsilon_x,\epsilon_y,\gamma_{xy}.

Passo 3

Aplicando \theta=0^\circ na fórmula (aqui \cos2\theta=\cos0=1 e \sin2\theta=\sin0=0):
\epsilon_{0}=\frac{\epsilon_x+\epsilon_y}{2}+\frac{\epsilon_x-\epsilon_y}{2}=\epsilon_x.
Como \epsilon_{0}=\epsilon_a, temos
\epsilon_x=\epsilon_a=600\times10^{-6}.

Passo 4

Aplicando \theta=90^\circ ( \cos2\theta=\cos180^\circ=-1, \sin2\theta=\sin180^\circ=0):
\epsilon_{90}=\frac{\epsilon_x+\epsilon_y}{2}+\frac{\epsilon_x-\epsilon_y}{2}(-1)=\epsilon_y.
Como \epsilon_{90}=\epsilon_c, temos
\epsilon_y=\epsilon_c=400\times10^{-6}.

Passo 5

Agora use \theta=45^\circ ( \cos2\theta=\cos90^\circ=0, \sin2\theta=\sin90^\circ=1):
\epsilon_{45}=\frac{\epsilon_x+\epsilon_y}{2}+\frac{\gamma_{xy}}{2}.
Isolando \gamma_{xy}:
\frac{\gamma_{xy}}{2}=\epsilon_{45}-\frac{\epsilon_x+\epsilon_y}{2}, \qquad \gamma_{xy}=2\epsilon_{45}-(\epsilon_x+\epsilon_y).
Substituindo os valores conhecidos (peguei \epsilon_{45}=\epsilon_b, \epsilon_x=\epsilon_a, \epsilon_y=\epsilon_c):
\epsilon_x+\epsilon_y=(600+400)\times10^{-6}=1000\times10^{-6},
\frac{\epsilon_x+\epsilon_y}{2}=500\times10^{-6},
\frac{\gamma_{xy}}{2}=\epsilon_b-500\times10^{-6}=-200\times10^{-6}-500\times10^{-6}=-700\times10^{-6},
\gamma_{xy}=-1400\times10^{-6}.
Resumo até aqui:
\epsilon_x=600\times10^{-6}, \epsilon_y=400\times10^{-6}, \gamma_{xy}=-1400\times10^{-6}.

Passo 6

Agora a fórmula para as deformações principais (são as autovalores do tensor de deformação plano) é
\epsilon_{1,2}=\frac{\epsilon_x+\epsilon_y}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{\epsilon_x-\epsilon_y}{2}\right)^2+\left(\frac{\gamma_{xy}}{2}\right)^2}.
Aqui:
  • \dfrac{\epsilon_x+\epsilon_y}{2} é a média das deformações normais (centro),
  • o termo sob a raiz é o quadrado do raio de Mohr das deformações (mede a magnitude do desvio em relação à média).

Passo 7

Calculemos passo a passo numericamente.
Média:
\frac{\epsilon_x+\epsilon_y}{2}= \frac{600\times10^{-6}+400\times10^{-6}}{2}=500\times10^{-6}.
Metade da diferença:
\frac{\epsilon_x-\epsilon_y}{2}=\frac{600\times10^{-6}-400\times10^{-6}}{2}=100\times10^{-6}.
Metade do cisalhamento:
\frac{\gamma_{xy}}{2}=\frac{-1400\times10^{-6}}{2}=-700\times10^{-6}.
Quadrados:
\left(100\times10^{-6}\right)^2=1{,}0\times10^{-8}, \qquad \left(-700\times10^{-6}\right)^2=4{,}9\times10^{-7}.
Soma:
1{,}0\times10^{-8}+4{,}9\times10^{-7}=5{,}0\times10^{-7}.
Raiz:
\sqrt{5{,}0\times10^{-7}}=707{,}10678\times10^{-6}\approx707{,}11\times10^{-6}.
Portanto as deformações principais são
\epsilon_1=500\times10^{-6}+707{,}11\times10^{-6}=1207{,}11\times10^{-6},
\epsilon_2=500\times10^{-6}-707{,}11\times10^{-6}=-207{,}11\times10^{-6}.
Arredondando a um inteiro em \times10^{-6}, obtemos \epsilon_1\approx1207\times10^{-6} e \epsilon_2\approx-207\times10^{-6}.

Resposta

\epsilon_1 = 1207\times10^{-6}
\epsilon_2 = -207\times10^{-6}

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