(valor 3,0). Dado um fio finito isolante de comprimento L, com uma carga +q distribuída uniformemente no comprimento. Utilize a lei de Coulomb, para determinar o vetor campo elétrico no ponto de distância y no eixo perpendicular ao fio, conforme a figura. Faça a análise vetorial, mostre os vetores, suas componentes, e defina suas variáveis na figura.

Passo 1

Enunciado e dados fornecidos (o que o problema pede e o que sabemos):
  • Temos um fio finito isolante de comprimento L com carga total positiva +q distribuída uniformemente ao longo do comprimento.
  • Queremos determinar o vetor campo elétrico no ponto P que fica a uma distância y do fio, ao longo do eixo perpendicular ao fio (conforme a figura mencionada).
  • Informações relevantes: L, q e a distância y (todas positivas); carga é distribuída uniformemente.
  • Observação sobre a figura: a figura não foi enviada. Vou assumir a configuração padrão usada nesse tipo de problema: o fio está colocado ao longo do eixo x, centrado na origem, isto é, ocupando o segmento \left[-\tfrac{L}{2},\tfrac{L}{2}\right] sobre o eixo x, e o ponto P está no eixo y em coordenada (0,y). Se a figura do enunciado for diferente (por exemplo, fio com uma extremidade na origem), a resposta final muda; eu não tenho essa informação, então trabalho com a configuração simétrica (perpendicular ao meio do fio).

Passo 2

Definições de variáveis e sistema de coordenadas (explicação clara do que cada símbolo significa):
  • Escolho sistema de coordenadas cartesiano (x,y).
  • O fio está sobre o eixo x, de x=-\tfrac{L}{2} até x=+\tfrac{L}{2}.
  • O ponto onde queremos o campo é P=(0,y), com y>0.
  • Densidade linear de carga (carga por unidade de comprimento):
\lambda=\frac{q}{L}.
  • Um elemento infinitesimal de comprimento do fio na posição x tem comprimento dx e carga elementar
dq=\lambda\,dx.
  • Constante eletrostática no vácuo:
k=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}.
  • Vetores unitários: \hat{\mathbf{i}} ao longo de x e \hat{\mathbf{j}} ao longo de y.

Passo 3

Lei de Coulomb aplicada a um elemento dq (aulas prática e interpretação física):
  • A contribuição infinitesimal de campo elétrico em P devido a dq colocada em x é, em módulo,
dE=\;k\,\frac{dq}{r^2},
onde r é a distância do elemento dq até o ponto P.
  • Aqui a distância r entre o ponto (x,0) (onde está dq) e P=(0,y) é
r=\sqrt{x^2+y^2}.
  • O vetor que aponta de dq para P é \vec{r}=( -x)\,\hat{\mathbf{i}} + y\,\hat{\mathbf{j}}. O versor (vetor unitário) nessa direção é
\hat{\mathbf{r}}=\frac{-x\,\hat{\mathbf{i}}+y\,\hat{\mathbf{j}}}{\sqrt{x^2+y^2}}.
  • Assim o vetor contribuição é
d\vec{E}=dE\;\hat{\mathbf{r}}=k\,\frac{dq}{(x^2+y^2)}\cdot\frac{-x\,\hat{\mathbf{i}}+y\,\hat{\mathbf{j}}}{\sqrt{x^2+y^2}}.

Passo 4

Separação em componentes e argumento de simetria (por que algumas componentes se cancelam):
  • Substituindo dq=\lambda\,dx obtemos as componentes:
d\vec{E}=k\,\lambda\,\frac{ -x\,\hat{\mathbf{i}} + y\,\hat{\mathbf{j}} }{(x^2+y^2)^{3/2}}\,dx.
  • Portanto as componentes são
dE_x = -k\lambda\,\frac{x}{(x^2+y^2)^{3/2}}\,dx,\qquad dE_y = k\lambda\,\frac{y}{(x^2+y^2)^{3/2}}\,dx.
  • Pelo arranjo simétrico do fio (segmento de -\tfrac{L}{2} a +\tfrac{L}{2}), cada elemento em +x tem um elemento correspondente em -x cuja contribuição na direção x é de mesmo módulo e sinal oposto; assim as componentes horizontais dE_x se cancelam quando integradas sobre todo o fio. Logo o campo resultante tem apenas componente ao longo de y: \vec{E}=E_y\,\hat{\mathbf{j}}.

Passo 5

Integral para a componente y do campo e simplificação do integrando:
  • A componente total E_y é a integral de dE_y ao longo do fio:
E_y = \int_{-L/2}^{L/2} dE_y = k\lambda \int_{-L/2}^{L/2} \frac{y}{(x^2+y^2)^{3/2}}\,dx.
  • O integrando é função par em x, então podemos escrever:
E_y = 2k\lambda \int_{0}^{L/2} \frac{y}{(x^2+y^2)^{3/2}}\,dx.

Passo 6

Cálculo da integral (mostro a primitiva usada e a verificação):
  • Precisamos calcular a integral padrão
\int \frac{dx}{(x^2+a^2)^{3/2}},
onde aqui a=y. Uma primitiva útil (que podemos verificar diferenciando) é
\int \frac{dx}{(x^2+a^2)^{3/2}}=\frac{x}{a^2\sqrt{x^2+a^2}} + C.
  • Verificação rápida (mostrando ideia): diferenciando f(x)=\dfrac{x}{a^2\sqrt{x^2+a^2}} e usando regra do quociente e cadeia obtém-se \dfrac{1}{(x^2+a^2)^{3/2}}, portanto é a primitiva correta.

Passo 7

Aplicação da primitiva à integral de E_y:
  • Temos
E_y = 2k\lambda\,y \int_{0}^{L/2} \frac{dx}{(x^2+y^2)^{3/2}}.
  • Usando a primitiva com a=y:
\int_{0}^{L/2} \frac{dx}{(x^2+y^2)^{3/2}} = \left.\frac{x}{y^2\sqrt{x^2+y^2}}\right|_{0}^{L/2} = \frac{(L/2)}{y^2\sqrt{(L/2)^2+y^2}} - 0.
  • Substituindo de volta:
E_y = 2k\lambda\,y \cdot \frac{(L/2)}{y^2\sqrt{(L/2)^2+y^2}}.

Passo 8

Simplificação algébrica e substituição de \lambda=\dfrac{q}{L}:
  • Simplificando os fatores:
E_y = 2k\lambda\,y \cdot \frac{L/2}{y^2\sqrt{(L/2)^2+y^2}} = k\lambda \,\frac{L}{y\sqrt{(L/2)^2+y^2}}.
  • Substituindo \lambda=\dfrac{q}{L} (para expressar em termos de q):
E_y = k\,\frac{q}{y\sqrt{(L/2)^2+y^2}}.
  • Lembre-se que k=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}.

Passo 9

Direção do campo e comentário físico (sinal e limites):
  • Como a carga total é positiva ( +q), o campo elétrico em P aponta radialmente para fora do fio, isto é, no sentido positivo do eixo y. Logo o vetor campo é \vec{E}=E_y\,\hat{\mathbf{j}} com E_y>0.
  • Checagem de consistência: se expressarmos em termos de \lambda e tomarmos L\to\infty com \lambda fixo, obtemos o campo da linha infinita E\approx \dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 y}, que é o resultado conhecido — portanto a fórmula está coerente nos limites.

Resposta

\boxed{\displaystyle \vec{E}(0,y)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{q}{\,y\sqrt{\left(\tfrac{L}{2}\right)^{\!2}+y^{2}}\,}\;\hat{\mathbf{j}}}

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