Questão 10: Analise a continuidade das funções (contínua, contínua à direita, contínua à esquerda).
Passo 1
O enunciado define a função
j(x)= dfrac1x+1, & se x>-1,[6pt] 1, & se x=-1,[3pt] x+1, & se x<-1,
e pede para determinar onde j é contínua, contínua à direita e contínua à esquerda. Vamos usar o conceito de continuidade em pontos interiores de cada ramo e verificar os limites laterais em x=-1.]
Passo 2
Para x<-1 a expressão é j(x)=x+1, que é uma função polinomial. Polinômios são contínuos em todo R. Logo, j é contínua em todo o intervalo (-infty,-1).
Para x>-1 a expressão é j(x)=1x+1. Esta função é contínua em seu domínio, que aqui é x:x>-1. Não há nenhum zero no denominador em x>-1, logo j é contínua em (-1,infty).
Passo 3
No ponto x=-1 temos j(-1)=1. Vamos calcular os limites laterais:
limxto(-1)^-j(x)=limxto(-1)^-(x+1)=0,
limxto(-1)^+j(x)=limxto(-1)^+1x+1=+infty
Passo 4
Para que j fosse contínua em -1 precisaríamos ter
limxto(-1)^-j(x) =limxto(-1)^+j(x) =j(-1)
Mas o limite pela esquerda é 0neq1 e o limite pela direita não é finito. Portanto j não é contínua em x=-1. Também não há continuidade à esquerda (pois 0neq1) nem à direita (pois o limite é infinito).
Resposta
j é contínua em (-infty,-1)cup(-1,infty). Em x=-1 ela não é contínua, nem contínua à esquerda, nem contínua à direita.