Questão 10: Analise a continuidade das funções (contínua, contínua à direita, contínua à esquerda).
f(x)=llx-1, & se x >= 2 x, & se x<2

Passo 1

O enunciado define a função por partes
f(x) = x-1, & se x>=2, x, & se x<2
Queremos analisar a continuidade em todo xinR, isto é, ver onde f é contínua, contínua à direita ou contínua à esquerda.

Passo 2

Para x<2 temos f(x)=x, que é um polinômio e, portanto, contínuo em todo ponto desse intervalo. Analogamente, para x>2 temos f(x)=x-1, outro polinômio, logo contínuo em todo ponto de (2,infty). Concluímos que f é contínua em (-infty,2) e em (2,infty).

Passo 3

No ponto x=2 calculamos os limites lateral e o valor da função:
limxto2^-f(x) =limxto2^-x=2,
limxto2^+f(x) =limxto2^+(x-1)=2-1=1,
f(2)=2-1=1

Passo 4

Comparando os resultados:
  • A partir da esquerda temos limxto2^-f(x)=2neq f(2)=1, então f não é contínua à esquerda em x=2.
  • A partir da direita temos limxto2^+f(x)=1=f(2), então f é contínua à direita em x=2.
  • Como os limites laterais não coincidem, f não é contínua em x=2.

Resposta

A função é contínua em todo xneq2. Em x=2 ela não é contínua, mas é contínua à direita e não é contínua à esquerda.

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