Questão 1: Use a Regra da Cadeia para determinar d zd t ou d wd t.
z=x ln (x+2 y), x=sen(t), y=cos (t)

Passo 1

O enunciado dá
z = x ln(x + 2y), x = sen(t), y = cos(t)
e pede dzdt usando a Regra da Cadeia. Para isso, vamos calcular as derivadas parciais de z em relação a x e y, as derivadas de x e y em relação a t e depois montar a combinação da Regra da Cadeia.

Passo 2

Calculemos primeiro as derivadas parciais de z.
1.
partial zpartial x = partialpartial xl[x,ln(x+2y)r] = ln(x+2y) + xcdot1x+2ycdot1 = ln(x+2y) + xx+2y
partial zpartial y = partialpartial yl[x,ln(x+2y)r] = xcdot1x+2ycdot2 = 2xx+2y

Passo 3

Agora as derivadas de x e y em relação a t:
dxdt = ddt[sen(t)] = cos(t), dydt = ddt[cos(t)] = -sen(t)

Passo 4

Aplicando a Regra da Cadeia,
dzdt = partial zpartial x,dxdt + partial zpartial y,dydt
Substituindo as expressões encontradas:
dzdt = l(ln(x+2y) + xx+2yr)cos t + 2xx+2y,(-sen t)

Passo 5

Finalmente, substituímos x=sen t e y=cos t. Note que
x+2y = sen t + 2cos t
Logo,
dzdt = l(ln(sen t + 2cos t) + sen tsen t + 2cos tr)cos t - 2,sen t,sen tsen t + 2cos t
Podemos combinar os termos da fração:
dzdt = cos t,ln(sen t + 2cos t) + sen t,cos t ;-;2,sen^2 tsen t + 2cos t

Resposta

dzdt = cos t,ln(sen t + 2cos t) + sen t,cos t ;-;2,sen^2 tsen t + 2cos t

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