Questão 8. (Limites Fundamentais) Calcule:
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^{3 x}-1}{x}
a) 0
b) 1
c) 3
d) Infinito

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x\to0}\frac{e^{3x}-1}{x}
Este é um problema de limites fundamentais envolvendo a função exponencial. Vamos usar o limite conhecido
\lim_{t\to0}\frac{e^{t}-1}{t}=1
e uma mudança de variável para resolver.

Passo 2

Fazemos a mudança de variável u=3x. Quando x\to0, também u\to0. Substituindo em
\frac{e^{3x}-1}{x}
temos
\frac{e^{u}-1}{x}
e como x = \tfrac{u}{3}, isso vira
\frac{e^{u}-1}{\tfrac{u}{3}} =3\,\frac{e^{u}-1}{u}.

Passo 3

Aplicando o limite fundamental da exponencial,
\lim_{u\to0}\frac{e^{u}-1}{u}=1,
obtemos
\lim_{x\to0}\frac{e^{3x}-1}{x} =3\cdot1 =3.

Resposta

c) 3

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