Questão 8 (1.0) Considere o plano \pi: x+y+\sqrt{7} z+5=0 e a reta r:\left\{\begin{array}{l}x=y \\\ z=0\end{array}\right..
Encontre os pontos da reta r que distam 3 do plano \pi.

Passo 1

O enunciado dá o plano
\pi: x + y + \sqrt{7}\,z + 5 = 0
e a reta
r:\begin{cases}x=y,\z=0.\end{cases}
O conteúdo é distância de um ponto ao plano. Para resolver, vamos parametrizar a reta, aplicar a fórmula da distância de um ponto ao plano e igualar a 3.

Passo 2

Parametrizamos a reta r por
(x,y,z) = (t,\,t,\,0),
com parâmetro t\in\mathbb{R}.

Passo 3

A distância de um ponto (x_0,y_0,z_0) ao plano Ax+By+Cz+D=0 é
\mathrm{dist} = \frac{|A x_0 + B y_0 + C z_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}.
Aqui A=1, B=1, C=\sqrt{7}, D=5 e (x_0,y_0,z_0)=(t,t,0). Logo,
A x_0 + B y_0 + C z_0 + D = t + t + \sqrt{7}\cdot 0 + 5 = 2t + 5,
e
\sqrt{A^2+B^2+C^2} = \sqrt{1+1+7} = 3.

Passo 4

Impondo \mathrm{dist}=3, temos
\frac{|2t+5|}{3} = 3 \quad\Longrightarrow\quad |2t+5| = 9.
Isso gera duas equações:
2t+5 = 9 \quad\Rightarrow\quad t = 2,
2t+5 = -9 \quad\Rightarrow\quad t = -7.

Passo 5

Substituindo na parametrização, os pontos da reta que ficam a distância 3 do plano são
(2,2,0) \quad\text{e}\quad (-7,-7,0).

Resposta

(2,2,0) e (-7,-7,0).

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