Questão 9 (1.5) Obtenha a equação reduzida, paramétrica e geral das seguintes cônicas:
Circunferência que possui centro C=(2,1) e ponto A=(1,1).

Passo 1

O enunciado pede as três formas da equação da circunferência cujo centro é C=(2,1) e que passa por A=(1,1). Esse conteúdo usa a definição de circunferência como o lugar geométrico dos pontos cuja distância ao centro é igual ao raio.

Passo 2

Calculamos o raio r pela distância entre C e A:
r = \sqrt{(1-2)^2 + (1-1)^2} = \sqrt{1 + 0} = 1.

Passo 3

A forma reduzida (ou canônica) de uma circunferência com centro (h,k) e raio r é
(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2.
Substituindo h=2, k=1 e r=1, obtemos
(x-2)^2 + (y-1)^2 = 1.

Passo 4

Para a forma geral, expandimos a forma reduzida e agrupamos termos:
(x-2)^2 + (y-1)^2 = 1
x^2 - 4x + 4 + y^2 - 2y + 1 = 1
x^2 + y^2 - 4x - 2y + 4 = 0.

Passo 5

A forma paramétrica é dada por
x = h + r\cos t,\quad y = k + r\sin t,\quad t\in[0,2\pi),
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x = 2 + \cos t,\quad y = 1 + \sin t.

Resposta

Forma reduzida:
(x-2)^2 + (y-1)^2 = 1
Forma paramétrica:
x = 2 + \cos t,\quad y = 1 + \sin t
Forma geral:
x^2 + y^2 - 4x - 2y + 4 = 0

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