Questão 10. Calcule a área da região limitada pelas curvas
lx=2 cos ^3(t) y=2 sen^3(t) e lx=2 cos (t) y=2 sen(t)

Passo 1

O enunciado pede a área da região limitada pela curva
C1:;x=2cos^3t,;y=2sin^3t
e pela curva
C2:;x=2cos t,;y=2sin t.
O conteúdo envolvido é cálculo de área de regiões planas usando integrais paramétricas e simetria.

Passo 2

Reconhecemos que C2 é o círculo de raio 2, cuja área é imediata, e que C1 é o asteroide dado pela equação
x^2/3+y^2/3=2^2/3
Vamos primeiro calcular cada área separadamente.

Passo 3

A área do círculo de raio 2 é
Acírculo=picdot2^2=4pi í

Passo 4

Para o asteroide usamos a fórmula da área em coordenadas paramétricas e simetria em quatro quadrantes. No primeiro quadrante
x=2cos^3t, dy=6sin^2tcos t,dt (tin[0,tfracpi2]),
então
integral0^pi/2x,dy =integral0^pi/22cos^3t;l(6sin^2tcos tr),dt =integral0^pi/212cos^4tsin^2t,dt
Como o asteroide é simétrico em quatro quadrantes,
Aasteroide =4integral0^pi/2x,dy =48integral0^pi/2cos^4tsin^2t,dt

Passo 5

Usando a relação com a função Beta, tem-se
integral0^pi/2cos^4tsin^2t,dt =pi32,
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Aasteroide =48cdotpi32 =3pi2

Passo 6

A área da região desejada é a diferença entre a área do círculo e a do asteroide:
A = Acírculo-Aasteroide =4pi-3pi2 =5pi2 í

Resposta

5pi2

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