Questão 10. Calcule a área da região limitada pelas curvas
e
Passo 1
O enunciado pede a área da região limitada pela curva
e pela curva
.
O conteúdo envolvido é cálculo de área de regiões planas usando integrais paramétricas e simetria.
e pela curva
O conteúdo envolvido é cálculo de área de regiões planas usando integrais paramétricas e simetria.
Passo 2
Reconhecemos que
é o círculo de raio
, cuja área é imediata, e que
é o asteroide dado pela equação
Vamos primeiro calcular cada área separadamente.
Passo 3
A área do círculo de raio
é
Passo 4
Para o asteroide usamos a fórmula da área em coordenadas paramétricas e simetria em quatro quadrantes. No primeiro quadrante
então
Como o asteroide é simétrico em quatro quadrantes,
Passo 5
Usando a relação com a função Beta, tem-se
logo
Passo 6
A área da região desejada é a diferença entre a área do círculo e a do asteroide: