Determine:
\lim _{=\rightarrow-\infty} \frac{x^{2}+x+1}{(x+1)^{3}-x^{3}}

Passo 1

O enunciado pede o seguinte limite: \displaystyle \lim_{x\to -\infty} \frac{x^{2}+x+1}{(x+1)^{3}-x^{3}}.\n
Informações relevantes dadas: numerador é o polinômio \,x^{2}+x+1, e denominador envolve a diferença de cubos (x+1)^{3}-x^{3}. O objetivo é calcular o valor dessa expressão quando x tende a -\infty.

Passo 2

Primeiro passo prático: simplificar a expressão do denominador usando a fórmula do binômio (expansão de (x+1)^{3}). A expansão é
(x+1)^{3} = x^{3} + 3x^{2} + 3x + 1.
Subtraindo x^{3}, obtemos
(x+1)^{3}-x^{3} = 3x^{2} + 3x + 1.
Agora a expressão do limite fica
\lim_{x\to -\infty} \frac{x^{2}+x+1}{3x^{2}+3x+1}.

Passo 3

Observação sobre graus dos polinômios: o numerador é um polinômio de grau 2 (termo dominante x^{2}) e o denominador também é de grau 2 (termo dominante 3x^{2}). Quando x\to\pm\infty os termos de maior grau dominam o comportamento dos polinômios; termos de grau inferior tornam-se relativamente negligenciáveis. Isso nos dá a intuição de que o limite será a razão entre os coeficientes dos termos de maior grau.

Passo 4

Para formalizar, dividimos numerador e denominador por x^{2} (como x\to -\infty, x^{2}\neq0 e a divisão é válida). Fazendo a divisão obtemos
\frac{x^{2}+x+1}{3x^{2}+3x+1} = \frac{\displaystyle\frac{x^{2}}{x^{2}}+\frac{x}{x^{2}}+\frac{1}{x^{2}}}{\displaystyle\frac{3x^{2}}{x^{2}}+\frac{3x}{x^{2}}+\frac{1}{x^{2}}} = \frac{1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^{2}}}{3+\frac{3}{x}+\frac{1}{x^{2}}}.

Passo 5

Agora analisamos o comportamento das parcelas \frac{1}{x} e \frac{1}{x^{2}} quando x\to -\infty. Sabemos que
\lim_{x\to -\infty} \frac{1}{x} = 0 \quad\text{e}\quad \lim_{x\to -\infty} \frac{1}{x^{2}} = 0.
A razão é que, em módulo, x cresce sem limite, então suas recíprocas vão a zero; note que \frac{1}{x^{2}} é sempre positivo e tende a 0 independente do sinal de x.

Passo 6

Aplicando esses limites na expressão obtida em
\lim_{x\to -\infty} \frac{1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^{2}}}{3+\frac{3}{x}+\frac{1}{x^{2}}} = \frac{1+0+0}{3+0+0} = \frac{1}{3}.

Passo 7

Interpretação final (dica para prova): quando o numerador e o denominador são polinômios do mesmo grau, o limite quando x\to\pm\infty é sempre a razão entre os coeficientes dos termos de maior grau. Aqui os coeficientes são 1 (em \,x^{2}\, do numerador) e 3 (em \,x^{2}\, do denominador), logo o limite é \tfrac{1}{3}.

Resposta

\dfrac{1}{3}

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