Determine:
Passo 1
O enunciado pede o seguinte limite:
.\n
Informações relevantes dadas: numerador é o polinômio , e denominador envolve a diferença de cubos
. O objetivo é calcular o valor dessa expressão quando
tende a
.
Informações relevantes dadas: numerador é o polinômio
Passo 2
Primeiro passo prático: simplificar a expressão do denominador usando a fórmula do binômio (expansão de
). A expansão é
Subtraindo
, obtemos
Agora a expressão do limite fica
Passo 3
Observação sobre graus dos polinômios: o numerador é um polinômio de grau
(termo dominante
) e o denominador também é de grau
(termo dominante
). Quando
os termos de maior grau dominam o comportamento dos polinômios; termos de grau inferior tornam-se relativamente negligenciáveis. Isso nos dá a intuição de que o limite será a razão entre os coeficientes dos termos de maior grau.
Passo 4
Para formalizar, dividimos numerador e denominador por
(como
,
e a divisão é válida). Fazendo a divisão obtemos
Passo 5
Agora analisamos o comportamento das parcelas
e
quando
. Sabemos que
A razão é que, em módulo,
cresce sem limite, então suas recíprocas vão a zero; note que
é sempre positivo e tende a
independente do sinal de
.
Passo 6
Aplicando esses limites na expressão obtida em
Passo 7
Interpretação final (dica para prova): quando o numerador e o denominador são polinômios do mesmo grau, o limite quando
é sempre a razão entre os coeficientes dos termos de maior grau. Aqui os coeficientes são
(em
do numerador) e
(em
do denominador), logo o limite é
.