Questão 10: Calcule a integral dada colocando-a em coordenadas polares.
integral duplaD 1(1+x^2+y^2)^33 d x d y, onde D é a região do primeiro quadrante contida pelo círculo x^2+y^2=16.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
integral duplaD 1l(1+x^2+y^2r)^32,dx,dy
onde D é a parte do primeiro quadrante contida no círculo x^2+y^2=16.
O conteúdo principal é usar coordenadas polares:
x = rcostheta, y = rsintheta,
e lembrar que o elemento de área vira dx,dy = r,dr,dtheta.

Passo 2

Em coordenadas polares o domínio D fica
0<= r<= 4, 0<= theta<= pi2,
e o integrando
1l(1+x^2+y^2r)^32 =1l(1+r^2r)^32
Com o jacobiano, a integral torna-se
integraltheta=0^pi2integralr=0^4 rl(1+r^2r)^32,dr,dtheta

Passo 3

Vamos primeiro resolver
integral0^4rl(1+r^2r)^32,dr
Faça a substituição u=1+r^2, logo du=2r,dr ou r,dr=tfrac12,du. A integral vira
integralu=1^1712,u^-32,du =12,l[-2,u^-12r]1^17 =-l(17r)^-12+1 =1-1raiz17

Passo 4

Agora integramos em theta:
integral0^pi2l(1-1raiz17r),dtheta =l(1-1raiz17r),pi2

Resposta

boxedpi2,l(1-1raiz17r)

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