Questão 10. Calcule os limites a seguir (do tipo ):
Sugestão:
A soma dos primeiros números naturais é conhecida pela fórmula .
A soma dos quadrados dos primeiros números naturais é conhecida pela fórmula .
Passo 1
O enunciado pede
que é um limite de função envolvendo polinômios no infinito. Para resolver, vamos usar análise assintótica e fatorar a potência dominante de em numerador e denominador.
Passo 2
Observamos que, para , o termo dominante do numerador dentro da raiz é e o do denominador é . Logo, a expressão dentro da raiz cresce como
e portanto a raiz tende a . Para tornar isso rigoroso, vamos fatorar.