Questão 10. Calcule os limites a seguir (do tipo infty / infty ):
Sugestão:
  • A soma dos n primeiros números naturais é conhecida pela fórmula n(n+1) / 2.
  • A soma dos quadrados dos n primeiros números naturais é conhecida pela fórmula n(n+1)(2 n+1) / 6.
    lim x +infty raiz2 x^2-3 x-4x^4+1

Passo 1

O enunciado pede
limxto +inftyraiz2x^2-3x-4x^4+1,
que é um limite de função envolvendo polinômios no infinito. Para resolver, vamos usar análise assintótica e fatorar a potência dominante de x em numerador e denominador.

Passo 2

Observamos que, para xto+infty, o termo dominante do numerador dentro da raiz é 2x^2 e o do denominador é x^4. Logo, a expressão dentro da raiz cresce como
2x^2x^4=2x^2to 0,
e portanto a raiz tende a raiz0=0. Para tornar isso rigoroso, vamos fatorar.

Passo 3

Fatorando x^2 no numerador e x^4 no denominador, temos
raiz2x^2-3x-4x^4+1 =raizx^2l(2-3x-4x^2r)x^4l(1+1x^4r) =raiz2-3x-4x^2x^2,l(1+1x^4r)

Passo 4

Podemos separar a raiz em num e den:
raiz2-3x-4x^2x^2,l(1+1x^4r) =raiz2-3x-4x^2x,raiz1+1x^4
À medida que xto+infty,
raiz2-tfrac3x-tfrac4x^2toraiz2 e
raiz1+tfrac1x^4to1,
logo toda a fração comporta-se como
tfracraiz2xto0.

Resposta

0

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