Questão 10. Calcule os limites a seguir (do tipo infty / infty ):
Sugestão:
  • A soma dos n primeiros números naturais é conhecida pela fórmula n(n+1) / 2.
  • A soma dos quadrados dos n primeiros números naturais é conhecida pela fórmula n(n+1)(2 n+1) / 6.
    lim x -infty 2^(x-1) cdot(3-2 x)^-1

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite\r
limxto -infty2^x-13-2x\r
Esse é um problema de limite de função exponencial com base maior que 1. A estratégia é primeiro determinar o limite do expoente\r
x-13-2x e depois usar a continuidade da função a^u (com a=2). Para isso, vamos usar propriedades de limites de frações de polinômios e dividir numerador e denominador por x.

Passo 2

Calculemos\r
limxto -inftyx-13-2x\r
Dividindo numerador e denominador por x,\r
x-13-2x =xl(1-tfrac1xr)xl(-2+tfrac3xr) =-1-tfrac1x2-tfrac3x
Quando xto -infty, temos tfrac1xto0 e tfrac3xto0, logo\r
limxto -inftyx-13-2x =-1-02-0 =-12

Passo 3

Como a função 2^u é contínua em todo R, podemos trocar o limite do expoente pelo expoente do limite. Assim,\r
limxto -infty2^x-13-2x =2^limlimitsxto -inftyx-13-2x =2^-12

Resposta

limxto -infty2^x-13-2x =2^-12 =1raiz2

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