Questão 3 (2pts): Considere a superfície definida por z=raiz9-3 x^2-5 y^2
(a) Calcule as derivadas parciais de z
(b) Determine a equação do plano tangente à superfície no ponto (1,1,1)

Passo 1

O enunciado nos dá a superfície
z = raiz9 - 3x^2 - 5y^2
e pede:
(a) as derivadas parciais de z em relação a x e a y, usando a regra da cadeia;
(b) a equação do plano tangente à superfície no ponto (1,1,1), usando a aproximação linear.

Passo 2

Para obter partial zpartial x aplicamos a regra da cadeia a z = (u)^1/2 com u = 9 - 3x^2 - 5y^2. Temos
partial zpartial x = 12raizu;partial upartial x = 12raiz9 - 3x^2 - 5y^2 cdot (-6x) = -3xraiz9 - 3x^2 - 5y^2

Passo 3

De modo análogo, para partial zpartial y usamos u = 9 - 3x^2 - 5y^2 e partial u/partial y = -10y. Logo,
partial zpartial y = 12raiz9 - 3x^2 - 5y^2 cdot (-10y) = -5yraiz9 - 3x^2 - 5y^2

Passo 4

No ponto (x0,y0,z0) = (1,1,1) temos raiz9 - 3cdot1^2 - 5cdot1^2 = 1, então
partial zpartial x|(1,1) = -3cdot11 = -3, partial zpartial y|(1,1) = -5cdot11 = -5

Passo 5

A equação do plano tangente na forma
z - z0 = partial zpartial x|(1,1) (x - x0) + partial zpartial y|(1,1) (y - y0)
fica
z - 1 = -3,(x - 1);-;5,(y - 1)
Reorganizando,
z = 1 -3x +3 -5y +5 = 9 -3x -5y

Resposta

(a) partial zpartial x = -3xraiz9 - 3x^2 - 5y^2, partial zpartial y = -5yraiz9 - 3x^2 - 5y^2
(b) z - 1 = -3(x - 1) - 5(y - 1), ou equivalentemente ,z = 9 - 3x - 5y.

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