Questão 2 (2pts): Determine (ou prove que não existe) os seguintes limites
(b) lim (x, y) (1,1) (x-1)^4(y-1)^4(x-1)^4+(y-1)^4

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite de uma função de duas variáveis quando (x,y)to(1,1), ou provar que não existe. O conteúdo aqui é análise de limite em R^2 e usaremos técnicas de desigualdade e o Teorema do Confronto (squeeze theorem) para mostrar que o valor tende a zero.

Passo 2

Introduzimos as variáveis de deslocamento
u = x - 1, v = y - 1,
assim (x,y)to(1,1) é equivalente a (u,v)to(0,0). A expressão do limite fica
(x-1)^4(y-1)^4(x-1)^4+(y-1)^4 = u^4,v^4u^4+v^4

Passo 3

Para aplicar o Teorema do Confronto, estimamos o denominador usando a desigualdade entre médias aritmética e geométrica:
u^4 + v^4 ;>=; 2,u^2v^2
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u^4v^4u^4+v^4 ;<=; u^4v^42,u^2v^2 = u^2v^22

Passo 4

Como (u,v)to(0,0) implica u^2v^2to0, temos
0 ;<=; u^4v^4u^4+v^4 ;<=; u^2v^22 ;longrightarrow;0
Pelo Teorema do Confronto, a função também tende a zero.

Resposta

lim(x,y)to(1,1) (x-1)^4(y-1)^4(x-1)^4+(y-1)^4 =0

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