Questão 10. Calcule os limites a seguir (do tipo infty / infty ):
Sugestão:
  • A soma dos n primeiros números naturais é conhecida pela fórmula n(n+1) / 2.
  • A soma dos quadrados dos n primeiros números naturais é conhecida pela fórmula n(n+1)(2 n+1) / 6.
    lim x -infty -3 x^5-x+14 x^3-2 x

Passo 1

O enunciado pede o limite
limxto -infty-3x^5-x+14x^3-2x,
que é uma indeterminação do tipo infty/infty. Aqui usamos o conteúdo de limites de funções racionais de polinômios, em particular o método de fatorar a maior potência de x.

Passo 2

Observe que o numerador é um polinômio de grau 5 e o denominador de grau 3. Para simplificar, vamos fatorar x^5 no numerador e x^3 no denominador:
-3x^5 - x + 1 = x^5l(-3 - x^-4 + x^-5r),
4x^3 - 2x = x^3l(4 - 2x^-2r)

Passo 3

Substituindo na fração, temos
-3x^5-x+14x^3-2x = x^5l(-3 - x^-4 + x^-5r)x^3l(4 - 2x^-2r) = x^2 ,-3 - x^-4 + x^-54 - 2x^-2

Passo 4

Quando xto -infty, os termos x^-4,x^-5,x^-2 tendem a zero, de modo que a fração dentro do produto tende a -3/4. Logo,
x^2;-3 - x^-4 + x^-54 - 2x^-2 sim x^2cdotl(-tfrac34r)
Como x^2 é sempre positivo e cresce sem limite, e o coeficiente -3/4 é negativo, o produto tende a -infty.

Resposta

-infty

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