Questão 4 (2pts): Se h(u, v)=g(u+v^2, u^2+v^2, 2 u^2+v) onde g=g(x, y, z) é uma função diferenciável tais que
partial gpartial x(2,2,1)=2, partial gpartial y(2,2,1)=1, partial gpartial z(2,2,1)=-3
Calcule partial hpartial u(1,-1), partial hpartial v(1,-1)

Passo 1

O enunciado define
h(u,v)=gl(u+v^2,;u^2+v^2,;2u^2+vr)
onde g(x,y,z) é diferenciável e, no ponto (2,2,1),
partial gpartial x(2,2,1)=2,
partial gpartial y(2,2,1)=1,
partial gpartial z(2,2,1)=-3.
Queremos partial hpartial u(1,-1) e partial hpartial v(1,-1).
O conteúdo principal é a regra da cadeia para funções de várias variáveis.

Passo 2

Definimos as funções internas
x(u,v)=u+v^2, y(u,v)=u^2+v^2, z(u,v)=2u^2+v

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais de x,y,z:
xu=1, yu=2u, zu=4u,
xv=2v, yv=2v, zv=1

Passo 4

Em (u,v)=(1,-1) temos
x(1,-1)=1+(-1)^2=2, y(1,-1)=1^2+(-1)^2=2, z(1,-1)=2cdot1^2+(-1)=1,
ou seja, o ponto interno é (2,2,1), exatamente onde conhecemos partial g.

Passo 5

Pela regra da cadeia,
partial hpartial u =partial gpartial x,xu +partial gpartial y,yu +partial gpartial z,zu,
partial hpartial v =partial gpartial x,xv +partial gpartial y,yv +partial gpartial z,zv
Substituindo em (1,-1) e usando
partial g/partial x=2, partial g/partial y=1, partial g/partial z=-3,
e xu=1, yu=2, zu=4, xv=-2, yv=-2, zv=1, obtemos
partial hpartial u(1,-1) =2cdot1 + 1cdot2 + (-3)cdot4 =2 + 2 -12 =-8,
partial hpartial v(1,-1) =2cdot(-2) + 1cdot(-2) + (-3)cdot1 =-4 -2 -3 =-9

Resposta

partial hpartial u(1,-1)=-8, partial hpartial v(1,-1)=-9

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