Questão 5 (2pts): Seja f: R^2 longrightarrow R definida por
f(x, y)=l x^4x^2+y^2 se (x, y) neq(0,0) 0
(i) Determine os pontos de continuidade de f
(ii) Calcule partial fpartial x, partial fpartial y se (x, y)=(0,0)

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos a função
O item (i) pede os pontos de continuidade de . Para isso, vamos usar a definição de continuidade em múltiplas variáveis — isto é, verificar se — e a definição de derivada parcial:
e de forma análoga para .

Passo 2

Para todo ponto (x,y)neq(0,0), o denominador x^2+y^2 é não nulo e
f(x,y)=x^4x^2+y^2
é quociente de polinômios contínuos. Logo, f é contínua em R^2setminus(0,0).

Passo 3

Para verificar continuidade em (0,0), calculamos
lim(x,y)to(0,0)x^4x^2+y^2
Em coordenadas polares x=rcostheta, y=rsintheta,
f(rcostheta,rsintheta) =r^4cos^4thetar^2 =r^2cos^4theta
Como rto0 implica r^2cos^4thetato0 independentemente de theta, concluímos
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=0=f(0,0).
Portanto, f é contínua também em (0,0).

Passo 4

Para calcular
partial fpartial x(0,0) usamos
partial fpartial x(0,0) =limhto0f(h,0)-f(0,0)h
Quando y=0 e x=hneq0,
f(h,0)=h^4h^2=h^2
Então
f(h,0)-f(0,0)h =h^2-0h =h,
e portanto
partial fpartial x(0,0)=limhto0h=0.

Passo 5

De modo análogo, para
partial fpartial y(0,0) temos
partial fpartial y(0,0) =limkto0f(0,k)-f(0,0)k
Para x=0 e y=kneq0,
f(0,k)=0^4k^2=0,
então
f(0,k)-0k =0,
logo partial fpartial y(0,0)=0.

Resposta

(i) f é contínua em todo R^2.
(ii) partial fpartial x(0,0)=0 e partial fpartial y(0,0)=0.

Exercícios relacionados