Questão 10. Calcule os limites a seguir (do tipo infty / infty ):
Sugestão:
  • A soma dos n primeiros números naturais é conhecida pela fórmula n(n+1) / 2.
  • A soma dos quadrados dos n primeiros números naturais é conhecida pela fórmula n(n+1)(2 n+1) / 6.
    lim x +infty(1 / pi)^x^3 cdot(x^2-1)^-1

Passo 1

O enunciado pede
limxto+inftyl(1/pir)^x^3,x^2-1,
que é um limite de tipo exponencial. Vamos usar logaritmo natural para “trazer” o expoente e estudar o comportamento de
ln f(x), onde f(x)=(1/pi)^x^3x^2-1.

Passo 2

Defina
f(x) = l(1/pir)^x^3x^2-1
e aplique logaritmo natural:
ln f(x) = x^3x^2-1,lnl(1/pir)
Como ln(1/pi)=-lnpi, obtemos
ln f(x) = -,lnpi ;x^3x^2-1

Passo 3

Calcule o limite da parte racional do expoente:
x^3x^2-1 = x^3x^2l(1-1/x^2r) = x1-1/x^2
À medida que xto+infty, temos 1-1/x^2to1, logo
limxto+inftyx^3x^2-1 = limxto+inftyx1-1/x^2 = +infty

Passo 4

Então
ln f(x) = -lnpi;x^3x^2-1 longrightarrow -lnpicdot(+infty) = -infty
Isso implica
f(x) = e^ln f(x) longrightarrow e^-infty = 0

Resposta

0

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