Questão 2 (2pts): Determine (ou prove que não existe) os seguintes limites
(a) lim (x, y) (0,0) x^2 yx^3+y^3

Passo 1

O enunciado pede o limite em duas variáveis
lim(x,y)to(0,0) x^2yx^3+y^3
Este é um problema de limites em R^2. Para analisar se existe, vamos verificar se o valor da expressão depende do caminho de aproximação de (0,0).

Passo 2

Considere uma reta passando pela origem dada por y = kx, com kneq -1 (para não anular o denominador em xneq0). Substituindo na função:
x^2yx^3+y^3 =x^2,(kx)x^3+(kx)^3 =k,x^3x^3+k^3x^3 =k,x^3(1+k^3)x^3 =k1+k^3

Passo 3

O valor tfrack1+k^3 depende de k. Por exemplo:
  • Para k=0 (reta y=0) o limite dá 0.
  • Para k=1 (reta y=x) o limite dá tfrac12.
Como estes resultados são diferentes, o valor da função varia conforme o caminho.

Passo 4

Quando o limite de uma função de duas variáveis depende do caminho, concluímos que o limite não existe.

Resposta

O limite não existe.

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