Questão 10. Considere o átomo de hidrogênio descrito pelo modelo de Bohr, no qual um elétron não relativístico, de massa
e carga-e, orbita um próton fixo em uma órbita circular. Ao longo de todo o problema, utilize apenas a constante de Planck reduzida
, definida por
e a constante de estrutura fina
.
A) No modelo de Bohr, o módulo do momento angular do elétron é quantizado segundo
e o movimento circular é mantido pela força eletrostática de Coulomb. Determine a velocidade
do elétron em uma órbita de número quântico principal
e expresse o resultado em função de
, c e
.
B) Determine expressões para os raios das órbitas
e para a energia mecânica
do elétron em uma órbita de raio
em termos de
, c e n.
A rara inversão espontânea do spin do elétron em um átomo de hidrogênio pode dar origem à emissão de um fóton. Em média, esse processo ocorre apenas uma vez a cada
anos por átomo. Apesar de sua extrema raridade, essa emissão desempenha um papel fundamental em astrofísica, pois permite mapear a distribuição de hidrogênio no Universo.
Estudaremos a transição responsável por essa emissão em duas etapas. Primeiramente, consideramos a interação entre o spin do elétron e o movimento relativo entre o elétron e o próton. No referencial do elétron, o próton descreve uma órbita circular a uma distância
. Esse movimento equivale a uma corrente elétrica efetiva, que gera, na posição do elétron, um campo magnético de intensidade
.
C) Determine o módulo do campo magnético
na posição do elétron em termos de
e
. Lembre-se que a velocidade da luz no vácuo é dada por
.
D) O spin do elétron está associado a um momento magnético
, cujo módulo é aproximadamente dado por
.
A estrutura fina
do átomo de hidrogênio está relacionada à diferença de energia
entre um elétron cujo momento magnético
é paralelo a
e outro cujo momento magnético é antiparalelo a
.
De maneira análoga, a estrutura hiperfina (HF) está relacionada à diferença de energia
devida à interação entre momentos magnéticos paralelos e antiparalelos do elétron e do próton. Sabe-se que
onde
é a massa do próton. Determine o comprimento de onda
do fóton emitido durante a transição entre os dois estados da estrutura hiperfina. Expresse sua resposta em termos dos parâmetros
A) No modelo de Bohr, o módulo do momento angular do elétron é quantizado segundo
B) Determine expressões para os raios das órbitas
Estudaremos a transição responsável por essa emissão em duas etapas. Primeiramente, consideramos a interação entre o spin do elétron e o movimento relativo entre o elétron e o próton. No referencial do elétron, o próton descreve uma órbita circular a uma distância
C) Determine o módulo do campo magnético
D) O spin do elétron está associado a um momento magnético
De maneira análoga, a estrutura hiperfina (HF) está relacionada à diferença de energia
Passo 1
O enunciado dá um átomo de hidrogênio no modelo de Bohr com as seguintes informações relevantes (vou listar tudo que vamos usar, sem resolver ainda):
- Quantização do momento angular (fornecida no enunciado):
. - A força centrípeta que mantém o elétron na órbita circular é a força de Coulomb entre cargas
e . - Definições que devemos usar:
e a constante de estrutura fina . - Para o spin do elétron: momento magnético de módulo aproximado
. - A diferença de energia da estrutura hiperfina está relacionada por
. - A velocidade da luz satisfaz
.
As perguntas específicas:
A) Encontre a velocidadedo elétron na órbita de número quântico , expressa em função de .
B) Determine expressões para o raioe para a energia mecânica da órbita em termos de .
C) No referencial do elétron, o próton gera um campo magnéticona posição do elétron (para a órbita fundamental ). Determine o módulo em função de .
D) Usando que, determine o comprimento de onda do fóton emitido na transição hiperfina, em termos de .
Passo 2
Calcular
usando as condições fornecidas (sem pular passos).
- Quantização do momento angular (módulo):
. Aqui é a massa do elétron, sua velocidade e o raio da órbita . - Condição de equilíbrio centrípeto = força de Coulomb:
Multiplicando ambos os lados por
:
- Da quantização, isolamos
:
- Substituímos
na expressão de equilíbrio:
Dividindo ambos os lados por
(assumindo
):
- Agora expressamos
em termos de e . Usando e (logo ):
- Portanto:
Breve comentário didático: se a quantização tivesse sido
(forma mais comum), apareceria
. Como o enunciado deu
surge o fator
extra.
Passo 3
Determinar o raio
.
- Partimos de
. Substituindo obtido:
- Podemos expressar
, então
- Uma observação útil: o raio de Bohr usual (com
) é . Assim aqui
o que reflete de novo o fator
decorrente de
em vez de
.
4) Conclusão:
4) Conclusão:
Passo 4
Determinar a energia mecânica
do elétron na órbita
.
- Para uma órbita circular com potencial Coulombiano, temos da relação de forças usada antes:
A energia cinética é
e a energia potencial elétrica é
Assim a energia total é
- Substituímos
e encontrado:
Substituindo
:
- Simplificando (cancelando
):
- Conclusão:
Comentário prático: compare com a forma comum
(quando
); aqui o fator
aparece por causa de
.
Passo 5
Calcular o campo magnético
produzido pelo próton em movimento circular no referencial do elétron (órbita fundamental,
). Raciocínio passo a passo e conceitos:
- No referencial do elétron, o próton (carga
) descreve uma corrente circular de raio e velocidade . A corrente elétrica associada é a carga por período:
- O campo magnético no centro de uma espira circular de corrente
e raio é (fórmula padrão de magnetostática):
Aqui usamos o ponto central (posição do elétron).
3) Substituindo com
:
3) Substituindo
- Agora substituímos
e das expressões anteriores (usar ):
- Calcule
:
- Substituindo em
:
- Organizando fatores:
- O enunciado pede a resposta em termos de
(podemos eliminar usando e ). Usando a identidade
substituindo em
e simplificando (cancelando
e
onde aparecem),
obtém-se a forma final (fazendo a álgebra cuidadosamente):
obtém-se a forma final (fazendo a álgebra cuidadosamente):
- Conclusão:
Observação: a derivação usou a expressão padrão do campo no centro de uma espira e a relação entre
para eliminar
.
Passo 6
Determinar a energia de estrutura fina
e depois a energia hiperfina
.
- Energia de um dipolo magnético
num campo é . A diferença entre os estados com paralelo e antiparalelo a tem módulo
pois as energias são
e
.
2) Usando :
2) Usando
- A relação dada no enunciado entre hiperfina e fina é
Substituindo
:
Observe que o
cancelou, como esperado pela forma dada.
4) Substituindo o valor de encontrado no Passo 5:
4) Substituindo o valor de
Cancelam
e
:
Podemos usar
e simplificar o fator numérico se desejado, mas vamos manter a forma compacta para a próxima etapa.
Passo 7
Determinar o comprimento de onda
do fóton emitido.
- A energia do fóton emitido é
. A relação entre energia e comprimento de onda é
Usando
, podemos escrever
- Substituindo
:
- Simplificando
e agrupando fatores:
Como
podemos reescrever o fator numérico:
- Conclusão (forma final, em termos pedidos):
Breve comentário: esta expressão dá a escala do comprimento de onda da linha de transição hiperfina do hidrogênio (a famosa linha de 21 cm na realidade aparece quando se usa a formulação correta com
e tratamento mais preciso; aqui as constantes e fatores numéricos diferem por conta da hipótese
usada no enunciado).
Resposta
A)
B)
C)
D)
B)
C)
D)