Questão 10. Considere o átomo de hidrogênio descrito pelo modelo de Bohr, no qual um elétron não relativístico, de massa \mathrm{m}_{\mathrm{e}} e carga-e, orbita um próton fixo em uma órbita circular. Ao longo de todo o problema, utilize apenas a constante de Planck reduzida \hbar, definida por \hbar=\mathrm{h} / 2 \pi e a constante de estrutura fina \alpha=\frac{\mathrm{e}^{2}}{4 \pi \varepsilon_{0} \hbar \mathrm{c}}.
A) No modelo de Bohr, o módulo do momento angular do elétron é quantizado segundo \mathrm{L}=\mathrm{n} h, \mathrm{n}=1,2,3, \ldots e o movimento circular é mantido pela força eletrostática de Coulomb. Determine a velocidade \mathrm{v}_{n} do elétron em uma órbita de número quântico principal \mathbf{n} e expresse o resultado em função de \boldsymbol{\alpha}, c e \mathbf{n}.
B) Determine expressões para os raios das órbitas \mathrm{r}_{\mathrm{n}} e para a energia mecânica \mathrm{E}_{\mathrm{n}} do elétron em uma órbita de raio r_{n} em termos de m_{e}, \alpha, c e n.
A rara inversão espontânea do spin do elétron em um átomo de hidrogênio pode dar origem à emissão de um fóton. Em média, esse processo ocorre apenas uma vez a cada 10^{7} anos por átomo. Apesar de sua extrema raridade, essa emissão desempenha um papel fundamental em astrofísica, pois permite mapear a distribuição de hidrogênio no Universo.
Estudaremos a transição responsável por essa emissão em duas etapas. Primeiramente, consideramos a interação entre o spin do elétron e o movimento relativo entre o elétron e o próton. No referencial do elétron, o próton descreve uma órbita circular a uma distância \mathbf{r}_{1}. Esse movimento equivale a uma corrente elétrica efetiva, que gera, na posição do elétron, um campo magnético de intensidade \overrightarrow{\mathrm{B}}_{1}.
C) Determine o módulo do campo magnético \vec{B}_{1} na posição do elétron em termos de \alpha, m_{e}, e, c e \hbar. Lembre-se que a velocidade da luz no vácuo é dada por \mathrm{c}=1 / \sqrt{\mu_{0} \varepsilon_{0}}.
D) O spin do elétron está associado a um momento magnético \vec{\mu}_{\mathrm{s}}, cujo módulo é aproximadamente dado por \mu_{\mathrm{s}}=\frac{\mathrm{e}}{\mathrm{m}_{\mathrm{e}}} \hbar.
A estrutura fina (F) do átomo de hidrogênio está relacionada à diferença de energia \Delta E_{F} entre um elétron cujo momento magnético \vec{\mu}_{\mathrm{s}} é paralelo a \overrightarrow{\mathrm{B}}_{1} e outro cujo momento magnético é antiparalelo a \overrightarrow{\mathrm{B}}_{1}.
De maneira análoga, a estrutura hiperfina (HF) está relacionada à diferença de energia \Delta \mathrm{E}_{\mathrm{HF}} devida à interação entre momentos magnéticos paralelos e antiparalelos do elétron e do próton. Sabe-se que \Delta E_{H F} \cong 3,72 \frac{m_{e}}{m_{p}} \Delta E_{F} onde \mathrm{m}_{\mathrm{p}} é a massa do próton. Determine o comprimento de onda \lambda_{\mathrm{HF}} do fóton emitido durante a transição entre os dois estados da estrutura hiperfina. Expresse sua resposta em termos dos parâmetros \alpha, m_{e}, m_{p}, c, \hbar

Passo 1

O enunciado dá um átomo de hidrogênio no modelo de Bohr com as seguintes informações relevantes (vou listar tudo que vamos usar, sem resolver ainda):
  • Quantização do momento angular (fornecida no enunciado): \,L = n h,\; n=1,2,3,\dots.
  • A força centrípeta que mantém o elétron na órbita circular é a força de Coulomb entre cargas e e -e.
  • Definições que devemos usar: \hbar = h/(2\pi) e a constante de estrutura fina \alpha = \dfrac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 \hbar c}.
  • Para o spin do elétron: momento magnético de módulo aproximado \mu_s = \dfrac{e}{m_e}\hbar.
  • A diferença de energia da estrutura hiperfina está relacionada por \Delta E_{HF} \cong 3{,}72\,\dfrac{m_e}{m_p}\,\Delta E_F.
  • A velocidade da luz satisfaz \,c = 1/\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}.
    As perguntas específicas:
    A) Encontre a velocidade \,v_n do elétron na órbita de número quântico n, expressa em função de \alpha, c, n.
    B) Determine expressões para o raio \,r_n e para a energia mecânica \,E_n da órbita n em termos de m_e,\alpha,c,n.
    C) No referencial do elétron, o próton gera um campo magnético \vec{B}_1 na posição do elétron (para a órbita fundamental r_1). Determine o módulo B_1 em função de \alpha, m_e, e, c,\hbar.
    D) Usando que \Delta E_{HF} \cong 3{,}72\frac{m_e}{m_p}\Delta E_F, determine o comprimento de onda \lambda_{HF} do fóton emitido na transição hiperfina, em termos de \alpha, m_e, m_p, c, \hbar.

Passo 2

Calcular \,v_n usando as condições fornecidas (sem pular passos).
  1. Quantização do momento angular (módulo): \,L = m_e v_n r_n = n h. Aqui m_e é a massa do elétron, v_n sua velocidade e r_n o raio da órbita n.
  2. Condição de equilíbrio centrípeto = força de Coulomb:
\frac{m_e v_n^2}{r_n} = \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 r_n^2}.
Multiplicando ambos os lados por r_n:
m_e v_n^2 = \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 r_n}.
  1. Da quantização, isolamos r_n:
r_n = \frac{n h}{m_e v_n}.
  1. Substituímos r_n na expressão de equilíbrio:
m_e v_n^2 = \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0}\cdot\frac{m_e v_n}{n h}.
Dividindo ambos os lados por m_e v_n (assumindo v_n\neq0):
v_n = \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0\, n h}.
  1. Agora expressamos e^2/(4\pi\varepsilon_0 h) em termos de \alpha, c e \hbar. Usando \alpha = \dfrac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 \hbar c} e \hbar = h/(2\pi) (logo h = 2\pi\hbar):
\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 h} = \alpha\,\frac{\hbar c}{h} = \alpha\,\frac{\hbar c}{2\pi\hbar} = \frac{\alpha c}{2\pi}.
  1. Portanto:
\boxed{\,v_n = \dfrac{\alpha c}{2\pi n}\, }.
Breve comentário didático: se a quantização tivesse sido L=n\hbar (forma mais comum), apareceria v_n=\alpha c/n. Como o enunciado deu L=n h surge o fator 1/(2\pi) extra.

Passo 3

Determinar o raio r_n.
  1. Partimos de r_n = \dfrac{n h}{m_e v_n}. Substituindo v_n obtido:
r_n = \frac{n h}{m_e}\cdot\frac{2\pi n}{\alpha c} = \frac{2\pi n^2 h}{m_e \alpha c}.
  1. Podemos expressar h = 2\pi\hbar, então
r_n = \frac{2\pi n^2 (2\pi\hbar)}{m_e \alpha c} = \frac{4\pi^2 n^2 \hbar}{m_e \alpha c}.
  1. Uma observação útil: o raio de Bohr usual (com L=n\hbar) é a_0=\dfrac{\hbar}{m_e \alpha c}. Assim aqui
r_n = 4\pi^2 n^2 a_0,
o que reflete de novo o fator (2\pi)^2 decorrente de L=n h em vez de L=n\hbar.
4) Conclusão:
\boxed{\,r_n = \dfrac{4\pi^2 \hbar}{m_e \alpha c}\, n^2.}

Passo 4

Determinar a energia mecânica E_n do elétron na órbita n.
  1. Para uma órbita circular com potencial Coulombiano, temos da relação de forças usada antes:
m_e v_n^2 = \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 r_n}.
A energia cinética é
K = \frac{1}{2} m_e v_n^2 = \frac{e^2}{8\pi\varepsilon_0 r_n},
e a energia potencial elétrica é
U = -\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 r_n}.
Assim a energia total é
E_n = K + U = -\frac{e^2}{8\pi\varepsilon_0 r_n}.
  1. Substituímos e^2/(4\pi\varepsilon_0)=\alpha\hbar c e r_n encontrado:
E_n = -\frac{1}{2}\frac{\alpha\hbar c}{r_n}.
Substituindo r_n = \dfrac{4\pi^2 \hbar}{m_e \alpha c} n^2:
E_n = -\frac{1}{2}\frac{\alpha\hbar c}{\dfrac{4\pi^2 \hbar}{m_e \alpha c} n^2} = -\frac{1}{2}\cdot\frac{\alpha\hbar c \, m_e \alpha c}{4\pi^2 \hbar}\cdot\frac{1}{n^2}.
  1. Simplificando (cancelando \hbar):
E_n = -\frac{m_e \alpha^2 c^2}{8\pi^2 n^2}.
  1. Conclusão:
\boxed{\,E_n = -\dfrac{m_e \alpha^2 c^2}{8\pi^2 n^2}\,.}
Comentário prático: compare com a forma comum -\dfrac{m_e \alpha^2 c^2}{2 n^2} (quando L=n\hbar); aqui o fator 1/(8\pi^2) aparece por causa de L=n h.

Passo 5

Calcular o campo magnético \,B_1 produzido pelo próton em movimento circular no referencial do elétron (órbita fundamental, n=1). Raciocínio passo a passo e conceitos:
  1. No referencial do elétron, o próton (carga +e) descreve uma corrente circular de raio r_1 e velocidade v_1. A corrente elétrica associada é a carga por período:
I = \frac{e}{T} = e\cdot\frac{v_1}{2\pi r_1}.
  1. O campo magnético no centro de uma espira circular de corrente I e raio r é (fórmula padrão de magnetostática):
B = \frac{\mu_0 I}{2 r}.
Aqui usamos o ponto central (posição do elétron).
3) Substituindo I com r=r_1:
B_1 = \frac{\mu_0}{2 r_1}\cdot e\frac{v_1}{2\pi r_1} = \frac{\mu_0 e v_1}{4\pi r_1^2}.
  1. Agora substituímos v_1 e r_1 das expressões anteriores (usar n=1):
v_1 = \frac{\alpha c}{2\pi},\qquad r_1 = \frac{4\pi^2 \hbar}{m_e \alpha c}.
  1. Calcule r_1^2:
r_1^2 = \frac{16\pi^4 \hbar^2}{m_e^2 \alpha^2 c^2}.
  1. Substituindo em B_1:
B_1 = \frac{\mu_0 e \, (\alpha c/(2\pi))}{4\pi}\cdot\frac{m_e^2 \alpha^2 c^2}{16\pi^4 \hbar^2}.
  1. Organizando fatores:
B_1 = \frac{\mu_0 e m_e^2 \alpha^3 c^3}{128 \pi^6 \hbar^2}.
  1. O enunciado pede a resposta em termos de \alpha, m_e, e, c, \hbar (podemos eliminar \mu_0 usando \, \mu_0 = 1/(\varepsilon_0 c^2) e \varepsilon_0 = \dfrac{e^2}{4\pi\alpha\hbar c}). Usando a identidade
\mu_0 = \frac{4\pi\alpha\hbar}{e^2 c},
substituindo em B_1 e simplificando (cancelando e e \hbar onde aparecem),
obtém-se a forma final (fazendo a álgebra cuidadosamente):
B_1 = \frac{m_e^2 \alpha^4 c^2}{32\,\pi^5\, e\,\hbar}.
  1. Conclusão:
\boxed{\,B_1 = \dfrac{m_e^2 \alpha^4 c^2}{32\pi^5 e \hbar}\, .}
Observação: a derivação usou a expressão padrão do campo no centro de uma espira e a relação entre \mu_0,\varepsilon_0,c,\alpha para eliminar \mu_0.

Passo 6

Determinar a energia de estrutura fina \Delta E_F e depois a energia hiperfina \Delta E_{HF}.
  1. Energia de um dipolo magnético \vec{\mu}_s num campo \vec{B} é U=-\vec{\mu}_s\cdot\vec{B}. A diferença entre os estados com \vec{\mu}_s paralelo e antiparalelo a \vec{B}_1 tem módulo
\Delta E_F = 2\mu_s B_1,
pois as energias são -\mu_s B_1 e +\mu_s B_1.
2) Usando \mu_s = \dfrac{e}{m_e}\hbar:
\Delta E_F = 2\cdot\frac{e\hbar}{m_e}\,B_1.
  1. A relação dada no enunciado entre hiperfina e fina é
\Delta E_{HF} \cong 3{,}72\,\frac{m_e}{m_p}\,\Delta E_F.
Substituindo \Delta E_F:
\Delta E_{HF} = 3{,}72\,\frac{m_e}{m_p}\cdot 2\frac{e\hbar}{m_e}B_1 = 7{,}44\;\frac{e\hbar}{m_p}\,B_1.
Observe que o m_e cancelou, como esperado pela forma dada.
4) Substituindo o valor de B_1 encontrado no Passo 5:
\Delta E_{HF} = 7{,}44\;\frac{e\hbar}{m_p}\cdot\frac{m_e^2 \alpha^4 c^2}{32\pi^5 e\hbar}.
Cancelam e e \hbar:
\Delta E_{HF} = \frac{7{,}44}{32\pi^5}\;\frac{m_e^2\alpha^4 c^2}{m_p}.
Podemos usar 7{,}44 = 2\times 3{,}72 e simplificar o fator numérico se desejado, mas vamos manter a forma compacta para a próxima etapa.

Passo 7

Determinar o comprimento de onda \lambda_{HF} do fóton emitido.
  1. A energia do fóton emitido é \Delta E_{HF}. A relação entre energia e comprimento de onda é
\Delta E_{HF} = h\nu = \frac{h c}{\lambda_{HF}}.
Usando h = 2\pi\hbar, podemos escrever
\lambda_{HF} = \frac{h c}{\Delta E_{HF}} = \frac{2\pi\hbar c}{\Delta E_{HF}}.
  1. Substituindo \Delta E_{HF} = \dfrac{7{,}44}{32\pi^5}\dfrac{m_e^2\alpha^4 c^2}{m_p}:
\lambda_{HF} = \frac{2\pi\hbar c}{\dfrac{7{,}44}{32\pi^5}\dfrac{m_e^2\alpha^4 c^2}{m_p}} = 2\pi\hbar c\cdot\frac{32\pi^5 m_p}{7{,}44\, m_e^2\alpha^4 c^2}.
  1. Simplificando c e agrupando fatores:
\lambda_{HF} = \frac{64\pi^6}{7{,}44}\cdot\frac{m_p\hbar}{m_e^2\alpha^4 c}.
Como 7{,}44 = 2\cdot 3{,}72 podemos reescrever o fator numérico:
\lambda_{HF} = \frac{32\pi^6}{3{,}72}\cdot\frac{m_p\hbar}{m_e^2\alpha^4 c}.
  1. Conclusão (forma final, em termos pedidos):
\boxed{\,\lambda_{HF} = \dfrac{32\pi^6}{3{,}72}\;\dfrac{m_p\hbar}{m_e^2\alpha^4 c}\, .}
Breve comentário: esta expressão dá a escala do comprimento de onda da linha de transição hiperfina do hidrogênio (a famosa linha de 21 cm na realidade aparece quando se usa a formulação correta com L=n\hbar e tratamento mais preciso; aqui as constantes e fatores numéricos diferem por conta da hipótese L=n h usada no enunciado).

Resposta

A) \;v_n = \dfrac{\alpha c}{2\pi n}.
B) \;r_n = \dfrac{4\pi^2 \hbar}{m_e \alpha c}\, n^2,\qquad E_n = -\dfrac{m_e \alpha^2 c^2}{8\pi^2 n^2}.
C) \;B_1 = \dfrac{m_e^2 \alpha^4 c^2}{32\pi^5 e \hbar}.
D) \;\lambda_{HF} = \dfrac{32\pi^6}{3{,}72}\;\dfrac{m_p\hbar}{m_e^2\alpha^4 c}.

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