Questão 1. O tempo mínimo necessário para atravessar o rio em um barco é to. A largura do leito do rio é H . A velocidade da correnteza do rio é constante em qualquer ponto do leito e é
vezes maior que a velocidade do barco
quando este se move em água parada. Com base nessas informações, calcule:
A) Encontre a velocidade do barco em água parada.
B) A que distância o barco será levado pela corrente (deslocamento paralelo à margem) durante o tempo mínimo de travessia?
C) Determine a menor distância (deslocamento paralelo à margem) para a qual o barco pode ser levado pela correnteza durante uma travessia.
D) Encontre o tempo de travessia do barco no caso do item anterior.
A) Encontre a velocidade do barco em água parada.
B) A que distância o barco será levado pela corrente (deslocamento paralelo à margem) durante o tempo mínimo de travessia?
C) Determine a menor distância (deslocamento paralelo à margem) para a qual o barco pode ser levado pela correnteza durante uma travessia.
D) Encontre o tempo de travessia do barco no caso do item anterior.
Passo 1
O enunciado fornece e pede o seguinte (vou listar tudo claramente):
-
Dados fornecidos:
- O tempo mínimo necessário para atravessar o rio é
. - A largura do rio (distância entre as margens, perpendicular à corrente) é
. - A velocidade da correnteza do rio é constante e vale
vezes a velocidade do barco em água parada, com . - Nomearei a velocidade do barco em água parada por
(essa é uma incógnita que o item (A) pede).
- O tempo mínimo necessário para atravessar o rio é
-
O que o enunciado pede:
- (A) Determinar a velocidade do barco em água parada (ou seja, encontrar
em função de e ). - (B) Calcular a que distância (deslocamento paralelo à margem) o barco será levado pela corrente durante a travessia de tempo mínimo
. - (C) Determinar a menor distância possível (deslocamento paralelo à margem) que o barco pode ser levado pela corrente durante uma travessia (ou seja, minimizar o deslocamento lateral permitindo que o barco mude sua orientação).
- (D) Encontrar o tempo de travessia do barco no caso em que o deslocamento paralelo à margem é mínimo (isto é, o tempo correspondente ao item (C)).
- (A) Determinar a velocidade do barco em água parada (ou seja, encontrar
Passo 2
Primeiras definições e ideia física básica (sem resolver ainda): a velocidade que realmente importa para atravessar é a velocidade do barco em relação ao solo (terra), que é a soma vetorial da velocidade do barco relativa à água e da velocidade da água (corrente). Vou escolher um sistema de coordenadas simples:
- Eixo
: direção perpendicular às margens (positivo na direção de atravessar, da margem de partida para a margem oposta). - Eixo
: direção paralela à margem (direção da corrente; positiva no sentido em que a corrente leva o barco).
Definições de variáveis:
-
: velocidade escalar do barco em água parada (isto é, velocidade do barco relativa à água quando não há corrente). -
: velocidade da correnteza relativa ao solo. Pelo enunciado, . - Supondo que o barco aponta formando um ângulo
em relação à normal à margem, com significando que o barco aponta um pouco para montante (tenta compensar a corrente).
Componentes da velocidade do barco relativa à água:
- componente perpendicular (transversal, para atravessar):
ao longo do eixo ; - componente paralela (no plano horizontal, para dar subida/descida na corrente):
ao longo de , positivo se apontar para montante (contra a corrente).
Velocidade do barco em relação ao solo (resultante):
- componente em
: (a corrente não tem componente ); - componente em
: (corrente leva para , o barco pode tentar reduzir com apontando para montante).
Tempo de travessia e deslocamento lateral (fórmulas gerais):
- tempo de travessia
(porque velocidade efetiva na direção é ); - deslocamento paralelo à margem
.
Essas fórmulas serão usadas para responder (B),(C) e (D). Antes, resolvemos (A).
Passo 3
Item (A): encontrar a velocidade do barco em água parada.
Raciocínio didático:
- O enunciado diz que
é o tempo mínimo de travessia. Qual orientação do barco dá tempo mínimo? O tempo de travessia é . Para minimizar em relação a basta maximizar , e a máxima de é , obtida quando , isto é, quando o barco aponta exatamente perpendicular à margem (aponta direto para a outra margem). - Portanto o tempo mínimo possível é obtido quando
, e assim o tempo mínimo é
- Isolando
, obtemos a velocidade do barco em água parada:
Explicação extra (para a prova): apontar perpendicular dá a maior componente possível de velocidade para atravessar (não desperdiça parte de
em componente paralela), portanto minimiza o tempo de travessia.
Passo 4
Item (B): distância que o barco é levado pela corrente durante o tempo mínimo
.
Raciocínio:
- No caso do tempo mínimo o barco aponta perpendicular (
). Então: - velocidade na direção
(paralela à margem) em relação ao solo é (porque ). - tempo de travessia é
.
- velocidade na direção
- Logo o deslocamento lateral durante esse tempo é
- Substituindo
(do item A):
Portanto, na travessia de tempo mínimo o barco é levado pela corrente uma distância igual a
.
Passo 5
Item (C): menor distância possível que o barco pode ser levado durante uma travessia (ou seja, minimizar
em relação a
).
Primeiro escrevendo
explicitamente:
É conveniente reescrever como
Agora vamos minimizar essa função em
. Procedimento passo a passo:
- Calcular a derivada de
:
- Colocar em evidência
:
- Zerar a derivada para achar extremos (note que
quando , que é o caso físico):
- Multiplicando ambos os lados por
(não zero na travessia):
- Como
, existe solução com . Essa solução corresponde a um mínimo (pode-se checar que a segunda derivada é positiva naquele ponto ou observar o comportamento da função para e ).
Agora avaliaremos
nesse ângulo ótimo:
- Se
, então
- Substituindo em
:
- Assim o menor deslocamento paralelo à margem é
Interpretação física curta (útil na prova): como
a corrente é mais rápida que a velocidade do barco, logo não é possível anular totalmente o arraste da corrente. O melhor que se pode fazer é apontar em um ângulo tal que a componente upstream parcial reduza o arraste o máximo possível; isso produz o deslocamento mínimo dado acima.
Passo 6
Item (D): tempo de travessia no caso em que o deslocamento paralelo é mínimo (isto é, para o ângulo com
).
Usar a expressão do tempo:
No ângulo ótimo temos
. Além disso, do item (A)
. Substituindo:
Portanto o tempo de travessia correspondente ao menor deslocamento lateral é
Observação intuitiva: esse tempo é maior que
(porque
para
), ou seja, para reduzir o arraste lateral o barco demora mais para atravessar.
Resposta
(A)
(B)
(C)
(D)