Questão 1. O tempo mínimo necessário para atravessar o rio em um barco é to. A largura do leito do rio é H . A velocidade da correnteza do rio é constante em qualquer ponto do leito e é \beta vezes maior que a velocidade do barco (\beta>1) quando este se move em água parada. Com base nessas informações, calcule:
A) Encontre a velocidade do barco em água parada.
B) A que distância o barco será levado pela corrente (deslocamento paralelo à margem) durante o tempo mínimo de travessia?
C) Determine a menor distância (deslocamento paralelo à margem) para a qual o barco pode ser levado pela correnteza durante uma travessia.
D) Encontre o tempo de travessia do barco no caso do item anterior.

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte (vou listar tudo claramente):
  • Dados fornecidos:
    • O tempo mínimo necessário para atravessar o rio é t_0.
    • A largura do rio (distância entre as margens, perpendicular à corrente) é H.
    • A velocidade da correnteza do rio é constante e vale \beta vezes a velocidade do barco em água parada, com \beta>1.
    • Nomearei a velocidade do barco em água parada por u (essa é uma incógnita que o item (A) pede).
  • O que o enunciado pede:
    • (A) Determinar a velocidade do barco em água parada (ou seja, encontrar u em função de H e t_0).
    • (B) Calcular a que distância (deslocamento paralelo à margem) o barco será levado pela corrente durante a travessia de tempo mínimo t_0.
    • (C) Determinar a menor distância possível (deslocamento paralelo à margem) que o barco pode ser levado pela corrente durante uma travessia (ou seja, minimizar o deslocamento lateral permitindo que o barco mude sua orientação).
    • (D) Encontrar o tempo de travessia do barco no caso em que o deslocamento paralelo à margem é mínimo (isto é, o tempo correspondente ao item (C)).

Passo 2

Primeiras definições e ideia física básica (sem resolver ainda): a velocidade que realmente importa para atravessar é a velocidade do barco em relação ao solo (terra), que é a soma vetorial da velocidade do barco relativa à água e da velocidade da água (corrente). Vou escolher um sistema de coordenadas simples:
  • Eixo y: direção perpendicular às margens (positivo na direção de atravessar, da margem de partida para a margem oposta).
  • Eixo x: direção paralela à margem (direção da corrente; positiva no sentido em que a corrente leva o barco).
Definições de variáveis:
  • u: velocidade escalar do barco em água parada (isto é, velocidade do barco relativa à água quando não há corrente).
  • v_c: velocidade da correnteza relativa ao solo. Pelo enunciado, v_c=\beta u.
  • Supondo que o barco aponta formando um ângulo \varphi em relação à normal à margem, com \varphi>0 significando que o barco aponta um pouco para montante (tenta compensar a corrente).
Componentes da velocidade do barco relativa à água:
  • componente perpendicular (transversal, para atravessar): u\cos\varphi ao longo do eixo y;
  • componente paralela (no plano horizontal, para dar subida/descida na corrente): u\sin\varphi ao longo de x, positivo se apontar para montante (contra a corrente).
Velocidade do barco em relação ao solo (resultante):
  • componente em y: u\cos\varphi (a corrente não tem componente y);
  • componente em x: v_c - u\sin\varphi = \beta u - u\sin\varphi (corrente leva para +x, o barco pode tentar reduzir com u\sin\varphi apontando para montante).
Tempo de travessia e deslocamento lateral (fórmulas gerais):
  • tempo de travessia T(\varphi) = \dfrac{H}{u\cos\varphi} (porque velocidade efetiva na direção y é u\cos\varphi);
  • deslocamento paralelo à margem D(\varphi) = (\beta u - u\sin\varphi)\,T(\varphi).
Essas fórmulas serão usadas para responder (B),(C) e (D). Antes, resolvemos (A).

Passo 3

Item (A): encontrar a velocidade do barco em água parada.
Raciocínio didático:
  • O enunciado diz que t_0 é o tempo mínimo de travessia. Qual orientação do barco dá tempo mínimo? O tempo de travessia é T(\varphi)=\dfrac{H}{u\cos\varphi}. Para minimizar T(\varphi) em relação a \varphi basta maximizar \cos\varphi, e a máxima de \cos\varphi é 1, obtida quando \varphi=0, isto é, quando o barco aponta exatamente perpendicular à margem (aponta direto para a outra margem).
  • Portanto o tempo mínimo possível é obtido quando u\cos\varphi = u, e assim o tempo mínimo é
t_0 = \frac{H}{u}.
  • Isolando u, obtemos a velocidade do barco em água parada:
u=\frac{H}{t_0}.
Explicação extra (para a prova): apontar perpendicular dá a maior componente possível de velocidade para atravessar (não desperdiça parte de u em componente paralela), portanto minimiza o tempo de travessia.

Passo 4

Item (B): distância que o barco é levado pela corrente durante o tempo mínimo t_0.
Raciocínio:
  • No caso do tempo mínimo o barco aponta perpendicular ( \varphi=0). Então:
    • velocidade na direção x (paralela à margem) em relação ao solo é v_x = \beta u - u\sin 0 = \beta u (porque \sin 0=0).
    • tempo de travessia é t_0.
  • Logo o deslocamento lateral durante esse tempo é
D_{\text{min tempo}} = v_x \, t_0 = \beta u \, t_0.
  • Substituindo u=\dfrac{H}{t_0} (do item A):
D_{\text{min tempo}} = \beta \left(\frac{H}{t_0}\right) t_0 = \beta H.
Portanto, na travessia de tempo mínimo o barco é levado pela corrente uma distância igual a \beta H.

Passo 5

Item (C): menor distância possível que o barco pode ser levado durante uma travessia (ou seja, minimizar D(\varphi) em relação a \varphi).
Primeiro escrevendo D(\varphi) explicitamente:
D(\varphi) = (\beta u - u\sin\varphi)\cdot\frac{H}{u\cos\varphi} = H\cdot\frac{\beta - \sin\varphi}{\cos\varphi}.
É conveniente reescrever como
D(\varphi)=H\bigl(\beta\operatorname{sec}\varphi - \tan\varphi\bigr).
Agora vamos minimizar essa função em \varphi. Procedimento passo a passo:
  1. Calcular a derivada de f(\varphi)=\beta\operatorname{sec}\varphi-\tan\varphi:
f'(\varphi)=\beta\operatorname{sec}\varphi\tan\varphi - \operatorname{sec}^2\varphi.
  1. Colocar em evidência \operatorname{sec}\varphi:
f'(\varphi)=\operatorname{sec}\varphi\bigl(\beta\tan\varphi - \operatorname{sec}\varphi\bigr).
  1. Zerar a derivada para achar extremos (note que \operatorname{sec}\varphi\neq0 quando |\varphi|<\tfrac{\pi}{2}, que é o caso físico):
\beta\tan\varphi - \operatorname{sec}\varphi = 0 \quad\Rightarrow\quad \beta\tan\varphi = \operatorname{sec}\varphi.
  1. Multiplicando ambos os lados por \cos\varphi (não zero na travessia):
\beta\sin\varphi = 1.
  1. Como \beta>1, existe solução \sin\varphi = \dfrac{1}{\beta} com 0<\varphi<\tfrac{\pi}{2}. Essa solução corresponde a um mínimo (pode-se checar que a segunda derivada é positiva naquele ponto ou observar o comportamento da função para \varphi\to\pm\pi/2 e \varphi=0).
Agora avaliaremos D nesse ângulo ótimo:
  • Se \sin\varphi=\dfrac{1}{\beta}, então
\cos\varphi=\sqrt{1-\frac{1}{\beta^2}}=\frac{\sqrt{\beta^2-1}}{\beta}.
  • Substituindo em D(\varphi)=H\cdot\dfrac{\beta-\sin\varphi}{\cos\varphi}:
\frac{D_{\min}}{H}=\frac{\beta-\dfrac{1}{\beta}}{\dfrac{\sqrt{\beta^2-1}}{\beta}} = \frac{\dfrac{\beta^2-1}{\beta}}{\dfrac{\sqrt{\beta^2-1}}{\beta}} = \sqrt{\beta^2-1}.
  • Assim o menor deslocamento paralelo à margem é
D_{\min}=H\sqrt{\beta^2-1}.
Interpretação física curta (útil na prova): como \beta>1 a corrente é mais rápida que a velocidade do barco, logo não é possível anular totalmente o arraste da corrente. O melhor que se pode fazer é apontar em um ângulo tal que a componente upstream parcial reduza o arraste o máximo possível; isso produz o deslocamento mínimo dado acima.

Passo 6

Item (D): tempo de travessia no caso em que o deslocamento paralelo é mínimo (isto é, para o ângulo com \sin\varphi=1/\beta).
Usar a expressão do tempo:
T(\varphi)=\frac{H}{u\cos\varphi}.
No ângulo ótimo temos \cos\varphi=\dfrac{\sqrt{\beta^2-1}}{\beta}. Além disso, do item (A) u=\dfrac{H}{t_0}. Substituindo:
T_{\min\;D}=\frac{H}{\left(\dfrac{H}{t_0}\right)\dfrac{\sqrt{\beta^2-1}}{\beta}} = t_0\cdot\frac{\beta}{\sqrt{\beta^2-1}}.
Portanto o tempo de travessia correspondente ao menor deslocamento lateral é
T = t_0\,\frac{\beta}{\sqrt{\beta^2-1}}.
Observação intuitiva: esse tempo é maior que t_0 (porque \dfrac{\beta}{\sqrt{\beta^2-1}}>1 para \beta>1), ou seja, para reduzir o arraste lateral o barco demora mais para atravessar.

Resposta

(A) u=\dfrac{H}{t_0}
(B) D=\beta H
(C) D_{\min}=H\sqrt{\beta^2-1}
(D) T=t_0\,\dfrac{\beta}{\sqrt{\beta^2-1}}

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