Questão 3. Um corpo é lançado para cima a partir da superfície da Terra com uma velocidade igual à metade da velocidade de escape, formando um ângulo de
com a horizontal. Despreze a resistência do ar e a rotação da Terra.
A) Determine a altura máxima acima da superfície da Terra até a qual o corpo irá subir.
B) O corpo se moverá ao redor da Terra como um satélite?
A) Determine a altura máxima acima da superfície da Terra até a qual o corpo irá subir.
B) O corpo se moverá ao redor da Terra como um satélite?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
-
Dados fornecidos:
- O corpo é lançado a partir da superfície da Terra, portanto a posição inicial em relação ao centro da Terra é
, onde é o raio da Terra. - A velocidade inicial tem módulo igual a metade da velocidade de escape:
. - A direção da velocidade faz um ângulo de
com a horizontal (isto é, com a tangente à superfície). - Despreza-se resistência do ar e rotação da Terra (movimento sob potencial gravitacional central apenas).
- O corpo é lançado a partir da superfície da Terra, portanto a posição inicial em relação ao centro da Terra é
-
Perguntas pedidas:
A) Determinar a altura máxima acima da superfície da Terra até a qual o corpo irá subir (isto é,).
B) Verificar se o corpo se moverá ao redor da Terra como um satélite (ou seja, se ele entra em órbita sem colidir com a superfície).
Passo 2
Conceitos e fórmulas que vamos usar (com explicações didáticas).
- Velocidade de escape: é a velocidade mínima, no nível da superfície, para que um corpo alcance infinito com velocidade nula. Obtém-se igualando energia cinética inicial à energia potencial gravitacional em módulo:
onde:
-
é a massa do corpo (cancela nas equações de conservação de energia), -
é a massa da Terra, -
é a constante gravitacional, -
é o raio da Terra.
Da igualdade segue
- Conservação da energia mecânica (por unidade de massa): para uma partícula sob potencial gravitacional central,
onde
é a velocidade e
a distância ao centro da Terra. A energia total por unidade de massa
é constante ao longo do movimento.
- Conservação do momento angular por unidade de massa (constante
): para movimento em potencial central, o momento angular por unidade de massa é
onde
é a componente da velocidade perpendicular ao raio (a componente tangencial).
é constante.
- Determinar
: no ponto de altura máxima a componente radial da velocidade é zero; a velocidade ali é puramente tangencial dada por . Usando conservação de energia entre e com em permite obter .
Vou aplicar essas fórmulas passo a passo com as quantidades do enunciado.
Passo 3
Calcular
em termos de
e
, e a energia total por unidade de massa inicial.
- Primeiro, escrevo
usando :
- A energia por unidade de massa inicial (em
) é
Substituindo
:
Interpretando:
indica que o movimento é ligado (órbita elíptica) — o corpo não escapa para o infinito. Mas isso não garante que ele não volte a atingir a superfície; veremos isso usando o momento angular.
Passo 4
Calcular o momento angular por unidade de massa inicial
(explicar componentes da velocidade).
-
Decompondo
em componentes radial (vertical) e tangencial (horizontal, perpendicular ao raio): - A componente tangencial inicial é
. - A componente radial inicial é
(positiva para cima).
- A componente tangencial inicial é
-
Como o lançamento é na superfície (
), o momento angular por unidade de massa é
Substituindo
e
, primeiro calcule
:
Passo 5
Determinar
aplicando conservação de energia no ponto de apogeu (velocidade radial nula).
No apogeu
tem-se
e
. Então a energia por unidade de massa escrita em
é
Substitua o valor de
(calculado no Passo 3) e
(Passo 4):
Para simplificar, divida ambos os lados por
(isso cancela a constante
):
Simplificando o primeiro termo do lado direito:
Então a equação fica
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar denominadores:
Passe tudo para um lado e organize como uma equação quadrática em
:
Divida por
e defina
para simplificar:
Resolva a quadrática usando a fórmula de Bhaskara. O discriminante é
Então
Obtêm-se duas raízes:
Numericamente
, então
Interpretação física: as duas raízes representam os dois extremos da órbita elíptica (perigeu e apogeu) em unidades de
. Como a posição inicial é
(isto é,
), a raíz menor
corresponde a um ponto interior (menor que
) que seria perigeu virtual se a Terra não fosse maciça; a raíz maior
é o apogeu real que interessa:
.
Portanto
Passo 6
Calcular a altura máxima acima da superfície e um valor numérico para dar intuição.
- A altura máxima acima da superfície é
- Em fração de
: numericamente
- Se usar
(valor típico do raio médio da Terra), então
(aproximação com duas casas decimais:
).
Passo 7
Responder se o corpo se moverá ao redor da Terra como um satélite (explicação clara).
-
Observação de energia:
indica movimento ligado (órbita elíptica possível), ou seja, o corpo não escapa para o infinito. -
Porém, para que o corpo “se mova ao redor da Terra como um satélite” no sentido de completar uma órbita sem chocar com a superfície, a trajetória inteira deve permanecer com
. No nosso caso a órbita elíptica tem um extremo com (o lançamento ocorreu na superfície), então a órbita toca a superfície terrestre no perigeu. Assim o corpo, após subir até , voltará e atingirá a superfície da Terra: ele não ficará em órbita circular segura acima do solo, ele retornará ao solo (colidirá), portanto não será um satélite livre que orbita sem colidir. -
Outro modo de ver (mais intuitivo): velocidade tangencial necessária para uma órbita circular na superfície (hipotética, desprezando atmosfera) é
Aqui
. A componente tangencial inicial é
que é bem menor que
. Logo não há velocidade tangencial suficiente para manter-se em órbita acima da superfície; a trajetória é elíptica com perigeu na superfície e o corpo volta a colidir.
Conclusão: apesar de ser um movimento ligado (não escapa), o corpo NÃO ficará orbitando como satélite sem colidir — ele retornará à superfície da Terra.
Resposta
A)
B) Não. O corpo não permanecerá em órbita sem colidir com a Terra: a órbita é ligada (não escapa) mas tem perigeu na superfície (
), de modo que o corpo voltará e atingirá a superfície, portanto não será um satélite em órbita livre.