Questão 3. Um corpo é lançado para cima a partir da superfície da Terra com uma velocidade igual à metade da velocidade de escape, formando um ângulo de 30^{\circ} com a horizontal. Despreze a resistência do ar e a rotação da Terra.
A) Determine a altura máxima acima da superfície da Terra até a qual o corpo irá subir.
B) O corpo se moverá ao redor da Terra como um satélite?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
  • Dados fornecidos:
    • O corpo é lançado a partir da superfície da Terra, portanto a posição inicial em relação ao centro da Terra é r_0=R, onde R é o raio da Terra.
    • A velocidade inicial tem módulo igual a metade da velocidade de escape: v_0=\dfrac{1}{2}v_{\mathrm{esc}}.
    • A direção da velocidade faz um ângulo de 30^\circ com a horizontal (isto é, com a tangente à superfície).
    • Despreza-se resistência do ar e rotação da Terra (movimento sob potencial gravitacional central apenas).
  • Perguntas pedidas:
    A) Determinar a altura máxima acima da superfície da Terra até a qual o corpo irá subir (isto é, h_{\max}=r_{\max}-R).
    B) Verificar se o corpo se moverá ao redor da Terra como um satélite (ou seja, se ele entra em órbita sem colidir com a superfície).

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (com explicações didáticas).
  1. Velocidade de escape: é a velocidade mínima, no nível da superfície, para que um corpo alcance infinito com velocidade nula. Obtém-se igualando energia cinética inicial à energia potencial gravitacional em módulo:
\frac{1}{2}m v_{\mathrm{esc}}^{2} = \frac{G M m}{R},
onde:
  • m é a massa do corpo (cancela nas equações de conservação de energia),
  • M é a massa da Terra,
  • G é a constante gravitacional,
  • R é o raio da Terra.
    Da igualdade segue
v_{\mathrm{esc}}=\sqrt{\frac{2GM}{R}}.
  1. Conservação da energia mecânica (por unidade de massa): para uma partícula sob potencial gravitacional central,
\mathcal{E} \equiv \frac{E}{m} = \frac{1}{2}v^{2}-\frac{GM}{r},
onde v é a velocidade e r a distância ao centro da Terra. A energia total por unidade de massa \mathcal{E} é constante ao longo do movimento.
  1. Conservação do momento angular por unidade de massa (constante h): para movimento em potencial central, o momento angular por unidade de massa é
h = r v_{\perp},
onde v_{\perp} é a componente da velocidade perpendicular ao raio (a componente tangencial). h é constante.
  1. Determinar r_{\max}: no ponto de altura máxima a componente radial da velocidade é zero; a velocidade ali é puramente tangencial dada por v_{\perp}(r)=h/r. Usando conservação de energia entre r_0 e r com v_r=0 em r_{\max} permite obter r_{\max}.
Vou aplicar essas fórmulas passo a passo com as quantidades do enunciado.

Passo 3

Calcular v_0 em termos de GM e R, e a energia total por unidade de massa inicial.
  • Primeiro, escrevo v_0 usando v_{\mathrm{esc}}=\sqrt{\dfrac{2GM}{R}}:
v_0=\frac{1}{2}v_{\mathrm{esc}}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{2GM}{R}}=\sqrt{\frac{GM}{2R}}.
  • A energia por unidade de massa inicial (em r_0=R) é
\mathcal{E}=\frac{1}{2}v_0^{2}-\frac{GM}{R}.
Substituindo v_0^{2}=\dfrac{GM}{2R}:
\mathcal{E}=\frac{1}{2}\cdot\frac{GM}{2R}-\frac{GM}{R}=\frac{GM}{4R}-\frac{GM}{R}=-\frac{3GM}{4R}.
Interpretando: \mathcal{E}<0 indica que o movimento é ligado (órbita elíptica) — o corpo não escapa para o infinito. Mas isso não garante que ele não volte a atingir a superfície; veremos isso usando o momento angular.

Passo 4

Calcular o momento angular por unidade de massa inicial h (explicar componentes da velocidade).
  • Decompondo v_0 em componentes radial (vertical) e tangencial (horizontal, perpendicular ao raio):
    • A componente tangencial inicial é v_{\perp 0}=v_0\cos 30^\circ.
    • A componente radial inicial é v_{r0}=v_0\sin 30^\circ (positiva para cima).
  • Como o lançamento é na superfície ( r_0=R), o momento angular por unidade de massa é
h = r_0 v_{\perp 0} = R\,v_0\cos 30^\circ.
Substituindo v_0^{2}=\dfrac{GM}{2R} e \cos 30^\circ=\dfrac{\sqrt{3}}{2}, primeiro calcule h^{2}:
h^{2}=R^{2}v_0^{2}\cos^{2}30^\circ =R^{2}\cdot\frac{GM}{2R}\cdot\frac{3}{4} =\frac{3}{8}\,GM\,R.

Passo 5

Determinar r_{\max} aplicando conservação de energia no ponto de apogeu (velocidade radial nula).
No apogeu r=r_{\max} tem-se v_r=0 e v^{2}=(v_{\perp})^{2}=(h/r)^{2}. Então a energia por unidade de massa escrita em r_{\max} é
\mathcal{E}=\frac{1}{2}\frac{h^{2}}{r_{\max}^{2}}-\frac{GM}{r_{\max}}.
Substitua o valor de \mathcal{E}=-\dfrac{3GM}{4R} (calculado no Passo 3) e h^{2}=\dfrac{3}{8}GM R (Passo 4):
-\frac{3GM}{4R}=\frac{1}{2}\cdot\frac{\tfrac{3}{8}GM R}{r_{\max}^{2}}-\frac{GM}{r_{\max}}.
Para simplificar, divida ambos os lados por GM (isso cancela a constante GM):
-\frac{3}{4R}=\frac{1}{2}\cdot\frac{3R/8}{r_{\max}^{2}}-\frac{1}{r_{\max}}.
Simplificando o primeiro termo do lado direito:
\frac{1}{2}\cdot\frac{3R}{8r_{\max}^{2}}=\frac{3R}{16r_{\max}^{2}}.
Então a equação fica
-\frac{3}{4R}=\frac{3R}{16r_{\max}^{2}}-\frac{1}{r_{\max}}.
Multiplicando ambos os lados por 16R r_{\max}^{2} para eliminar denominadores:
-12 r_{\max}^{2}=3R^{2}-16R r_{\max}.
Passe tudo para um lado e organize como uma equação quadrática em r_{\max}:
12 r_{\max}^{2}-16R r_{\max}+3R^{2}=0.
Divida por R^{2} e defina x=\dfrac{r_{\max}}{R} para simplificar:
12 x^{2}-16 x+3=0.
Resolva a quadrática usando a fórmula de Bhaskara. O discriminante é
\Delta = (-16)^{2}-4\cdot12\cdot3=256-144=112.
Então
x=\frac{16\pm\sqrt{112}}{24}=\frac{16\pm 4\sqrt{7}}{24}=\frac{4\pm\sqrt{7}}{6}.
Obtêm-se duas raízes:
x_1=\frac{4+\sqrt{7}}{6},\qquad x_2=\frac{4-\sqrt{7}}{6}.
Numericamente \sqrt{7}\approx 2{,}6458, então
x_1\approx 1{,}10763,\qquad x_2\approx 0{,}2257.
Interpretação física: as duas raízes representam os dois extremos da órbita elíptica (perigeu e apogeu) em unidades de R. Como a posição inicial é r_0=R (isto é, x=1), a raíz menor x_2<1 corresponde a um ponto interior (menor que R) que seria perigeu virtual se a Terra não fosse maciça; a raíz maior x_1>1 é o apogeu real que interessa: r_{\max}=x_1 R.
Portanto
r_{\max}=\frac{4+\sqrt{7}}{6}\,R.

Passo 6

Calcular a altura máxima acima da superfície e um valor numérico para dar intuição.
  • A altura máxima acima da superfície é
h_{\max}=r_{\max}-R=\left(\frac{4+\sqrt{7}}{6}-1\right)R=\frac{\sqrt{7}-2}{6}\,R.
  • Em fração de R: numericamente
\frac{h_{\max}}{R}\approx 0{,}10763.
  • Se usar R\approx 6\,371\\ \mathrm{km} (valor típico do raio médio da Terra), então
h_{\max}\approx 0{,}10763\times 6\,371\\ \mathrm{km}\approx 686{,}5\\ \mathrm{km}.
(aproximação com duas casas decimais: 686,5\\ \mathrm{km}).

Passo 7

Responder se o corpo se moverá ao redor da Terra como um satélite (explicação clara).
  • Observação de energia: \mathcal{E}<0 indica movimento ligado (órbita elíptica possível), ou seja, o corpo não escapa para o infinito.
  • Porém, para que o corpo “se mova ao redor da Terra como um satélite” no sentido de completar uma órbita sem chocar com a superfície, a trajetória inteira deve permanecer com r\ge R. No nosso caso a órbita elíptica tem um extremo com r=R (o lançamento ocorreu na superfície), então a órbita toca a superfície terrestre no perigeu. Assim o corpo, após subir até r_{\max}, voltará e atingirá a superfície da Terra: ele não ficará em órbita circular segura acima do solo, ele retornará ao solo (colidirá), portanto não será um satélite livre que orbita sem colidir.
  • Outro modo de ver (mais intuitivo): velocidade tangencial necessária para uma órbita circular na superfície (hipotética, desprezando atmosfera) é
v_c=\sqrt{\frac{GM}{R}}=\frac{v_{\mathrm{esc}}}{\sqrt{2}}\approx 0{,}7071\,v_{\mathrm{esc}}.
Aqui v_0=\tfrac{1}{2}v_{\mathrm{esc}}=0{,}5\,v_{\mathrm{esc}}. A componente tangencial inicial é
v_{\perp 0}=v_0\cos 30^\circ=\frac{1}{2}v_{\mathrm{esc}}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{4}v_{\mathrm{esc}}\approx 0{,}4330\,v_{\mathrm{esc}},
que é bem menor que v_c. Logo não há velocidade tangencial suficiente para manter-se em órbita acima da superfície; a trajetória é elíptica com perigeu na superfície e o corpo volta a colidir.
Conclusão: apesar de ser um movimento ligado (não escapa), o corpo NÃO ficará orbitando como satélite sem colidir — ele retornará à superfície da Terra.

Resposta

A) h_{\max}=\dfrac{\sqrt{7}-2}{6}\,R\approx 0{,}10763\,R\approx 686{,}5\\ \mathrm{km}
B) Não. O corpo não permanecerá em órbita sem colidir com a Terra: a órbita é ligada (não escapa) mas tem perigeu na superfície ( r=R), de modo que o corpo voltará e atingirá a superfície, portanto não será um satélite em órbita livre.

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