QUESTÃO 10
Considere a definição para as funções matemáticas denominadas de seno hiperbólico e cosseno hiperbólico, respectivamente:
Dentre as afirmações abaixo:
I)
, para todo
;
II) A equação
possui uma única solução real;
III)
;
é (são) verdadeira (s) apenas:
a) I.
b) II.
c) III.
d) I ell.
e) I e III.
I)
II) A equação
III)
é (são) verdadeira (s) apenas:
a) I.
b) II.
c) III.
d) I ell.
e) I e III.
Passo 1
O enunciado define as funções hiperbólicas
e pede para determinar quais das afirmações I, II e III são verdadeiras. O conteúdo necessário envolve manipular expressões exponenciais e usar propriedades básicas de
e
.
Passo 2
Mostramos primeiro que
Logo
Por outro lado,
Assim a igualdade da afirmação I vale para todo
, ou seja, I é verdadeira.
Passo 3
Para a afirmação II note que
pela desigualdade AM–GM, e nunca atinge zero. Portanto a equação
não tem solução real, e II é falsa.
Passo 4
Para a afirmação III calculamos
Expandindo,
logo
Portanto III é verdadeira.
Resposta
(e) I e III.