QUESTÃO 10

Considere a definição para as funções matemáticas denominadas de seno hiperbólico e cosseno hiperbólico, respectivamente:
\operatorname{senh}(x)=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2} \quad \text { e } \quad \operatorname{cosh} (x)=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}, x \in \mathbb{R}
Dentre as afirmações abaixo:
I) [\operatorname{senh}(x)+\operatorname{cosh} (x)]^{8}=\operatorname{senh}(8 x)+\operatorname{cosh} (8 x), para todo x \in \mathbb{R};
II) A equação \operatorname{cosh} (x)=0 possui uma única solução real;
III) [\operatorname{cosh} (x)]^{2}-[\operatorname{senh}(x)]^{2}=1;
é (são) verdadeira (s) apenas:
a) I.
b) II.
c) III.
d) I ell.
e) I e III.

Passo 1

O enunciado define as funções hiperbólicas
\operatorname{senh}(x)=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}, \quad \operatorname{cosh}(x)=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2},
e pede para determinar quais das afirmações I, II e III são verdadeiras. O conteúdo necessário envolve manipular expressões exponenciais e usar propriedades básicas de \operatorname{cosh} e \operatorname{senh}.

Passo 2

Mostramos primeiro que
\operatorname{senh}(x)+\operatorname{cosh}(x) =\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}+\frac{e^{x}+e^{-x}}{2} =\frac{2e^{x}}{2} =e^{x}.
Logo
\bigl[\operatorname{senh}(x)+\operatorname{cosh}(x)\bigr]^{8} =(e^{x})^{8} =e^{8x}.
Por outro lado,
\operatorname{senh}(8x)+\operatorname{cosh}(8x) =\frac{e^{8x}-e^{-8x}}{2}+\frac{e^{8x}+e^{-8x}}{2} =e^{8x}.
Assim a igualdade da afirmação I vale para todo x, ou seja, I é verdadeira.

Passo 3

Para a afirmação II note que
\operatorname{cosh}(x)=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}\ge\frac{2\sqrt{e^{x}e^{-x}}}{2}=1,
pela desigualdade AM–GM, e nunca atinge zero. Portanto a equação \operatorname{cosh}(x)=0 não tem solução real, e II é falsa.

Passo 4

Para a afirmação III calculamos
[\operatorname{cosh}(x)]^{2}-[\operatorname{senh}(x)]^{2} =\frac{(e^{x}+e^{-x})^{2}-(e^{x}-e^{-x})^{2}}{4}.
Expandindo,
(e^{x}+e^{-x})^{2}-(e^{x}-e^{-x})^{2} =(e^{2x}+2+e^{-2x})-(e^{2x}-2+e^{-2x}) =4,
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[\operatorname{cosh}(x)]^{2}-[\operatorname{senh}(x)]^{2} =\frac{4}{4}=1.
Portanto III é verdadeira.

Resposta

(e) I e III.

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