QUESTÃO 09

Os polinômios A(x)=x^{2}-3 x+2 e B(x)=x^{4}-2 x^{3}+k x^{2}-3 x-2 tem uma única raiz em comum. Os valores possíveis para k são números
a) pares.
b) primos.
c) inversos.
d) ímpares.
e) simétricos.

Passo 1

O enunciado dá
A(x)=x^{2}-3x+2
B(x)=x^{4}-2x^{3}+kx^{2}-3x-2
e pede os valores de k tais que A e B têm exatamente uma raiz em comum. Vamos precisar: (i) encontrar as raízes de A; (ii) impor que uma delas anule B mas a outra não; (iii) verificar quais valores de k satisfazem isso.

Passo 2

Fatorando A(x) temos
A(x)=(x-1)(x-2),
logo as raízes de A são x=1 e x=2.

Passo 3

Para testar x=1 como raiz de B, calculamos
B(1)=1-2+k-3-2=k-6.
Impondo B(1)=0 vem k=6. Nesse caso,
B(2)=2^{4}-2\cdot2^{3}+6\cdot2^{2}-3\cdot2-2 =16-16+24-6-2=16\neq0,
portanto x=2 não anula B. Logo k=6 dá exatamente uma raiz em comum x=1.

Passo 4

Para testar x=2 como raiz de B, calculamos
B(2)=16-16+4k-6-2=4k-8.
Impondo B(2)=0 vem k=2. Nesse caso,
B(1)=2-6=-4\neq0,
logo x=1 não anula B. Assim k=2 dá exatamente uma raiz em comum x=2.

Passo 5

Os valores possíveis de k são 2 e 6. Ambos são números pares, portanto a alternativa correta é a letra (a).

Resposta

(a)

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