QUESTÃO 07

Considere as funções f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} e g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} cujas leis de formação são
f(x)=c x+c \text { e } g(x)=a x^{2}+b x+b
sendo a, b \in \mathbb{R}^{*} e c \in \mathbb{R}. Sabendo que b \neq c e que os gráficos de f e g se interceptam em um único ponto P, é correto afirmar que a abscissa de P, no sistema de coordenadas cartesiano, é igual a
a) -2 .
b) -1 .
c) 0 .
d) 1 .
e) 2 .

Passo 1

O enunciado dá as funções
f(x)=c\,x+c
e
g(x)=a\,x^{2}+b\,x+b
com a,b\neq0 e b\neq c, e diz que os gráficos de f e g se interceptam num único ponto P. Para achar a abscissa de P precisamos resolver
f(x)=g(x)
e exigir que essa equação só tenha uma solução real.

Passo 2

Igualando f(x) e g(x) temos
c\,x+c = a\,x^{2}+b\,x+b
que pode ser reescrita como
a\,x^{2} + (b-c)\,x + (b-c) = 0.

Passo 3

Para que haja exatamente uma solução real, o discriminante dessa equação quadrática deve ser zero. Calculamos
\Delta = (b-c)^{2} - 4\,a\,(b-c) = (b-c)\bigl[(b-c)-4a\bigr].
Como b\neq c, segue que (b-c)\neq0 e, para \Delta=0, é necessário
(b-c)-4a = 0 \quad\Longrightarrow\quad b-c = 4a.

Passo 4

Com \Delta=0, a raiz (dupla) da equação quadrática é
x = -\frac{b-c}{2a}.
Substituindo b-c=4a obtemos
x = -\frac{4a}{2a} = -2.

Resposta

(a) -2

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