QUESTÃO 11

Se x+\frac{1}{x}=3 e 8 x^{6}+4 x^{3} y^{2} \neq 0, então o valor numérico da expressão \frac{4 x^{9}+2 x^{6} y^{2}+4 x^{3}+2 y^{2}}{8 x^{6}+4 x^{3} y^{2}} é igual a
a) 4 .
b) 7 .
c) 9 .
d) 12 .
e) 18 .

Passo 1

O enunciado dá \;x+\frac1x=3\; e exige o valor da expressão
\frac{4x^9+2x^6y^2+4x^3+2y^2}{8x^6+4x^3y^2},
supondo 8x^6+4x^3y^2\neq0. O plano é fatorar numerador e denominador, simplificar e usar a identidade que relaciona x+\frac1x a x^3+\frac1{x^3}.

Passo 2

Factoramos o denominador e o numerador em blocos comuns:
8x^6+4x^3y^2 = 4x^3\bigl(2x^3+y^2\bigr),
4x^9+2x^6y^2+4x^3+2y^2 =2\bigl(2x^9+x^6y^2+2x^3+y^2\bigr) =2\,(2x^3+y^2)\,(x^6+1).

Passo 3

Substituindo na fração e simplificando o fator comum 2x^3+y^2:
\frac{4x^9+2x^6y^2+4x^3+2y^2}{8x^6+4x^3y^2} =\frac{2\,(2x^3+y^2)\,(x^6+1)}{4x^3\,(2x^3+y^2)} =\frac{x^6+1}{2x^3} =\frac12\Bigl(x^3+\frac1{x^3}\Bigr).

Passo 4

Agora usamos a identidade para cúbicos: se \,a=x+\frac1x, então
x^3+\frac1{x^3}=a^3-3a.
Como a=3, temos
x^3+\frac1{x^3}=3^3-3\cdot3=27-9=18.

Passo 5

Logo a expressão original vale
\frac12\Bigl(x^3+\tfrac1{x^3}\Bigr) =\frac12\cdot18=9.

Resposta

c) 9

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