Questão 10. Considere o escoamento bidimensional devido a uma corrente uniforme horizontal U_{\infty}, um vórtice no sentido horário com circulação \Gamma em ( 0, b ) e um vórtice de mesma intensidade no sentido anti-horário localizado em ( 0,-b ). Descreva o escoamento (potencial complexo, velocidade complexa e ponto(s) de estagnação) para o caso limite em que b \rightarrow 0, \Gamma \rightarrow \infty, sendo 2 \Gamma b \rightarrow N, uma constante.

Passo 1

O enunciado trata de um escoamento bidimensional incompressível e irrotacional, composto por uma corrente uniforme horizontal de intensidade U_{\infty} sobreposta a dois vórtices de mesma circulação \Gamma e sentidos opostos, localizados em z_1= i\,b e z_2=-i\,b. Pede-se obter, no limite
b\to0,\quad \Gamma\to\infty,\quad 2\,\Gamma\,b\to N\\ (\text{constante}),
o potencial complexo w(z), a velocidade complexa w'(z) e os pontos de estagnação. Para isso vamos usar:
– superposição de potenciais;
– expansão de \log para pares de polos próximos (dipolo).

Passo 2

Escrevemos o potencial complexo da superposição exata antes do limite. A corrente uniforme gera
w_{\text{uni}}(z)=U_{\infty}\,z,
e os vórtices em z=\pm i\,b geram
w_{\text{vort}}(z) =\frac{\Gamma}{2\pi i}\,\log\bigl(z - i\,b\bigr) -\frac{\Gamma}{2\pi i}\,\log\bigl(z + i\,b\bigr) =\frac{\Gamma}{2\pi i}\,\log\!\Bigl(\frac{z - i\,b}{z + i\,b}\Bigr).
Logo o potencial total é
w(z) =U_{\infty}\,z +\frac{\Gamma}{2\pi i}\,\log\!\Bigl(\frac{z - i\,b}{z + i\,b}\Bigr).

Passo 3

Para b\to0 e \Gamma\to\infty com 2\Gamma b\to N, fazemos a expansão para \lvert z\rvert\gg b:
\frac{z - i\,b}{z + i\,b} =1-\frac{2i\,b}{z}+O(b^2), \qquad \log\!\Bigl(1-\frac{2i\,b}{z}\Bigr)\approx -\frac{2i\,b}{z}.
Substituindo em w_{\text{vort}}:
w_{\text{vort}}(z)\approx \frac{\Gamma}{2\pi i}\,\Bigl(-\frac{2i\,b}{z}\Bigr) =-\frac{2\Gamma\,b}{2\pi\,z} =-\frac{N}{2\pi\,z}.
Portanto, no limite, o potencial total é
\boxed{ w(z) =U_{\infty}\,z -\frac{N}{2\pi\,z} }.

Passo 4

A velocidade complexa é a derivada
w'(z) =\frac{d w}{d z} =U_{\infty} -\frac{N}{2\pi}\,\frac{d}{dz}\bigl(z^{-1}\bigr) =U_{\infty} +\frac{N}{2\pi\,z^2}.

Passo 5

Em pontos de estagnação temos w'(z)=0:
U_{\infty}+\frac{N}{2\pi\,z^2}=0 \quad\Longrightarrow\quad z^2=-\frac{N}{2\pi\,U_{\infty}} \quad\Longrightarrow\quad z=\pm i\,\sqrt{\frac{N}{2\pi\,U_{\infty}}}.
Logo os dois pontos de estagnação são
\boxed{z_{\text{stag}}=\pm i\,\sqrt{\frac{N}{2\pi\,U_{\infty}}}\,.}

Resposta

Potencial complexo:
w(z)=U_{\infty}\,z-\frac{N}{2\pi\,z}.
Velocidade complexa:
w'(z)=U_{\infty}+\frac{N}{2\pi\,z^2}.
Pontos de estagnação:
z=\pm i\,\sqrt{\frac{N}{2\pi\,U_{\infty}}}\,.

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