Questão 11. Um conjunto de soluções elementares da equação de Laplace (escoamento uniforme, fontes, dipolos, etc.) é descrito pelo pontecial complexo F_{1}(z). Qual deve ser a expressão \zeta=\zeta(z) para que F(z)=F_{1}(z)+\bar{F}_{1}(\zeta) seja real ao longo da circunferência de raio igual a dois e centro na origem do plano z.

Passo 1

Resumindo: temos um potencial complexo \displaystyle F_{1}(z) que gera um escoamento no plano, e queremos construir um potencial total
F(z)\;=\;F_{1}(z)\;+\;\overline{F_{1}\bigl(\zeta(z)\bigr)}
de modo que, ao longo da circunferência \lvert z\rvert=2, F(z) seja real (isto é, o contorno seja uma linha de corrente impermeável). Vamos usar o Teorema do Círculo de Milne‐Thomson.

Passo 2

Para que F(z) seja real em \lvert z\rvert=2 precisamos de
F(z)\;=\;\overline{F(z)} \quad\Longrightarrow\quad F_{1}(z)\;+\;\overline{F_{1}\bigl(\zeta(z)\bigr)} \;=\; \overline{F_{1}(z)}\;+\;F_{1}\bigl(\zeta(z)\bigr)
quando \lvert z\rvert=2. O Teorema do Círculo nos diz que basta escolher \zeta(z) de modo que, para \lvert z\rvert=2,
\zeta(z) \;=\;\frac{a^{2}}{\overline{z}} \quad\text{com}\quad a=2.

Passo 3

De fato, se a=2 e definirmos
\zeta(z)=\frac{4}{\overline{z}},
então, para \lvert z\rvert=2, temos
\zeta(z) =\frac{4}{\overline{z}} =\frac{2^{2}}{2e^{-i\theta}} =2e^{i\theta} = z,
e portanto
F(z) =F_{1}(z)+\overline{F_{1}\bigl(\zeta(z)\bigr)} =F_{1}(z)+\overline{F_{1}(z)} =2\Re\bigl[F_{1}(z)\bigr],
que é puramente real na circunferência.

Resposta

\displaystyle \zeta(z)=\frac{4}{\overline{z}}.

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