_ Questão 10. Considere a função
f(x)=(x-2)/(x^2-4)
b) Determine as assíntotas, caso existam, e esboce o gráfico de f.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no problema: temos a função e precisamos descobrir as assíntotas dessa função, se existirem, e depois desenhar o gráfico dela. Para fazer isso, vamos usar conceitos de assíntotas verticais e horizontais, além de simplificar a função quando possível.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a função . O denominador pode ser fatorado como uma diferença de quadrados:
Então, a função fica:
Aqui, percebemos que o termo está no numerador e no denominador, então podemos simplificar:
É importante notar que porque isso tornaria o denominador zero na expressão original, mesmo após a simplificação.

Passo 3

Agora vamos identificar as assíntotas verticais. As assíntotas verticais ocorrem onde a função não está definida, ou seja, onde o denominador é zero. Na expressão simplificada , o denominador é zero quando:
Portanto, há uma assíntota vertical em . Além disso, originalmente tínhamos uma descontinuidade em , mas como simplificamos, isso se tornou um ponto removível e não uma assíntota vertical.

Passo 4

Em seguida, vamos verificar as assíntotas horizontais. As assíntotas horizontais descrevem o comportamento da função quando tende para ou . Olhando para a função simplificada , percebemos que:
Isso significa que a função se aproxima de quando fica muito grande ou muito pequeno. Portanto, temos uma assíntota horizontal em .

Passo 5

Por fim, vamos esboçar o gráfico da função considerando as assíntotas que encontramos:
  • Assíntota vertical em : a função se aproxima, mas nunca toca essa linha vertical.
  • Assíntota horizontal em : a função se aproxima de conforme vai para ou .
Lembrando que em há um ponto removível, o que significa que o gráfico não tem problema ali, mas o ponto específico pode não estar definido dependendo de como a função foi simplificada.

Resposta

As assíntotas da função são:
  • Assíntota vertical em .
  • Assíntota horizontal em .
O gráfico de apresenta essas assíntotas e possui um ponto removível em .

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