_ Questão 10. Considere a função
b) Determine as assíntotas, caso existam, e esboce o gráfico de
.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no problema: temos a função
e precisamos descobrir as assíntotas dessa função, se existirem, e depois desenhar o gráfico dela. Para fazer isso, vamos usar conceitos de assíntotas verticais e horizontais, além de simplificar a função quando possível.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a função
. O denominador
pode ser fatorado como uma diferença de quadrados:
Então, a função fica:
Aqui, percebemos que o termo
está no numerador e no denominador, então podemos simplificar:
É importante notar que
porque isso tornaria o denominador zero na expressão original, mesmo após a simplificação.
Passo 3
Agora vamos identificar as assíntotas verticais. As assíntotas verticais ocorrem onde a função não está definida, ou seja, onde o denominador é zero. Na expressão simplificada
, o denominador é zero quando:
Portanto, há uma assíntota vertical em
. Além disso, originalmente tínhamos uma descontinuidade em
, mas como simplificamos, isso se tornou um ponto removível e não uma assíntota vertical.
Passo 4
Em seguida, vamos verificar as assíntotas horizontais. As assíntotas horizontais descrevem o comportamento da função quando
tende para
ou
. Olhando para a função simplificada
, percebemos que:
Isso significa que a função se aproxima de
quando
fica muito grande ou muito pequeno. Portanto, temos uma assíntota horizontal em
.
Passo 5
Por fim, vamos esboçar o gráfico da função
considerando as assíntotas que encontramos:
- Assíntota vertical em
: a função se aproxima, mas nunca toca essa linha vertical. - Assíntota horizontal em
: a função se aproxima de conforme vai para ou .
Lembrando que em
há um ponto removível, o que significa que o gráfico não tem problema ali, mas o ponto específico pode não estar definido dependendo de como a função foi simplificada.
Resposta
As assíntotas da função
são:
- Assíntota vertical em
. - Assíntota horizontal em
.
O gráfico de
apresenta essas assíntotas e possui um ponto removível em
.