— Questão 9. Os limites abaixo estão dando indeterminações, então quando possível utilise operações algébricas para calcular os limites. Caso seja necessário calcule os limites laterais.
(w) lim x 5 raizx-raiz5x-5

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular o limite:
limx 5 raizx - raiz5x - 5
Aqui, estamos trabalhando com limites e indeterminações. Quando substituímos , tanto o numerador quanto o denominador se tornam zero, resultando em uma forma indeterminada . Para resolver isso, vamos usar uma operação algébrica chamada racionalização.

Passo 2

A racionalização consiste em multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do numerador. O conjugado de raizx - raiz5x - 5 times raizx + raiz5raizx + raiz5 = (raizx - raiz5)(raizx + raiz5)(x - 5)(raizx + raiz5) é . Assim, fazemos:

Passo 3

Agora, vamos simplificar o numerador usando a identidade (raizx)^2 - (raiz5)^2 = x - 5 :
x - 5(x - 5)(raizx + raiz5)
Portanto, a expressão fica:

Passo 4

Podemos cancelar o termo 1raizx + raiz5 que está no numerador e no denominador:
1raiz5 + raiz5 = 12raiz5
Agora, substituímos 12raiz5 times raiz5raiz5 = raiz510 por 5:
Para simplificar ainda mais, racionalizamos o denominador multiplicando o numerador e o denominador por :

Resposta

limx 5 raizx - raiz5x - 5 = raiz510

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