Questão 2.
(13P.) Uma placa quadrada com lados de comprimento
tem duas bordas opostas isoladas termicamente e as outras duas com temperaturas especificadas através das funções
e
de forma que a temperatura estacionária da placa satisfaz o problema com valores na fronteira a seguir.
(a) Verifique que para todo número natural
, a função
satisfaz o problema acima, com
e
.
Observação: Nesta questão você precisa apenas verificar que uma função é solução do problema, não precisa deduzir esse fato.
(b) Determine a solução do problema se
e
.
(c) Determine a solução do problema se
e $f_{2}(x)=2 \cos x-\cos (2 x), 0 \leq x \leq \pi.
Observação: Nesta questão você precisa apenas verificar que uma função é solução do problema, não precisa deduzir esse fato.
(b) Determine a solução do problema se
(c) Determine a solução do problema se
Passo 1
O enunciado dá um problema de Dirichlet-Laplace estacionário numa placa quadrada e pede três coisas (partes (a), (b) e (c)). Vou listar claramente o que é dado e o que é pedido.
Dados do problema:
Perguntas:
(a) Verificar que, para todo número natural , a função
(a) Verificar que, para todo número natural
satisfaz o problema acima quando
e
.
(b) Determinar a solução quando
e
, para
.
(c) Determinar a solução quando
e
, para
.
Observação: não há figura faltando; todas as informações necessárias estão no enunciado.
Passo 2
Breve explicação do método que vamos usar (separação de variáveis e séries de Fourier) — aula rapidinha e informal.
- Queremos soluções da equação de Laplace com condições Neumann em
e valores prescritos em . Uma técnica padrão é procurar soluções por separação de variáveis: assumir uma forma produto
- Substituindo na equação
obtemos
Isso implica que cada termo deve ser constante (porque um depende só de
e outro só de
). Chamamos essa constante de
. Assim obtemos os dois EDOs
- As condições de contorno em
são Neumann homogêneas:
Essas condições implicam que os autovalores
são
com
, e os autovetores correspondentes (funções em
) são
. (Raciocínio: as soluções de
são combinações de
e
. A condição
elimina o
com derivada não nula;
leva a
, daí
.)
- Para cada
a EDO em é , cuja base de soluções é e . Logo o modo separado associado a tem forma
- Em particular, o modo com
e é exatamente , que é o que a parte (a) pede para verificar. Em termos práticos, a solução geral (somando modos) é
onde os coeficientes
e
são determinados pelas condições em
:
- Assim, para cada
(vamos tratar separadamente se necessário), se denotarmos por o coeficiente de em e por o coeficiente de em , obtemos as relações
ou seja
- Essa é a receita: expandir
e em séries de cossenos (aqui os já estão dadas em termos de cossenos), pegar e e montar .
Passo 3
Parte (a): verificar que
satisfaz a equação de Laplace e as condições de contorno indicadas quando
e
.
- Primeiro calcule as derivadas segundas:
- Somando:
logo satisfaz a equação de Laplace.
- Condições em
: calcule :
Em
temos
, logo
. Em
temos
para
inteiro, logo
. Assim as condições de isolamento nas bordas
e
são satisfeitas.
- Condições em
: em temos , então
logo corresponde a
. Em
temos
logo corresponde a
.
Concluímos que
satisfaz todas as equações e condições para os dados indicados, como pedido.
Passo 4
Parte (b): construir explicitamente a solução quando
e
.
- Pela receita do Passo 2, expandimos
e em cossenos. Aqui já está explícito:
- Para cada
a solução tem a forma
com
(porque
), então
e a condição em
pede
, isto é
- Portanto só os modos
e aparecem. Calculando os coeficientes:
- A solução completa é a soma dos modos não nulos:
Passo 5
Parte (c): construir explicitamente a solução quando
e
.
- Primeiro identifique os coeficientes
(de ) e (de ):
- Para cada
a fórmula do Passo 2 dá
Vamos calcular apenas os
que aparecem (
); para os outros
terá
.
- Para
:
Logo o modo
é
- Para
:
O modo
é
- Para
:
O modo
é
- Somando os modos não nulos, a solução é
As demais componentes (para
diferentes de
) são nulas porque
.
Resposta
(a)
satisfaz
,
,
e
.\n
(b) \n
(c)
(b)
(c)