Questão 2.

(13P.) Uma placa quadrada com lados de comprimento \pi tem duas bordas opostas isoladas termicamente e as outras duas com temperaturas especificadas através das funções f_{1} e f_{2} de forma que a temperatura estacionária da placa satisfaz o problema com valores na fronteira a seguir.
\begin{aligned} & \partial_{x}^{2} u+\partial_{y}^{2} u=0, \quad 0<x<\pi, 0<y<\pi ; \\\ & u(x, 0)=f_{1}(x), u(x, \pi)=f_{2}(x), \quad 0 \leq x \leq \pi ; \\\ & \partial_{x} u(0, y)=0, \partial_{x} u(\pi, y)=0, \quad 0 \leq y \leq \pi . \end{aligned}
(a) Verifique que para todo número natural n, a função
u_{n}(x, y)=\cos (n x) \operatorname{senh}(n y)
satisfaz o problema acima, com f_{1}(x)=0 e f_{2}(x)=\operatorname{senh}(n \pi) \cos (n x).
Observação: Nesta questão você precisa apenas verificar que uma função é solução do problema, não precisa deduzir esse fato.
(b) Determine a solução do problema se f_{1}(x)=0 e f_{2}(x)=2 \cos x-\cos (2 x), 0 \leq x \leq \pi.
(c) Determine a solução do problema se f_{1}(x)=5 \cos x-\cos (5 x) e $f_{2}(x)=2 \cos x-\cos (2 x), 0 \leq x \leq \pi.

Passo 1

O enunciado dá um problema de Dirichlet-Laplace estacionário numa placa quadrada e pede três coisas (partes (a), (b) e (c)). Vou listar claramente o que é dado e o que é pedido.
Dados do problema:
\begin{aligned} &\text{Equação:}\quad \partial_{x}^{2}u+\partial_{y}^{2}u=0,\quad 0<x<\pi,\;0<y<\pi;\\\ &\text{Condições em }y: \quad u(x,0)=f_{1}(x),\quad u(x,\pi)=f_{2}(x),\quad 0\le x\le\pi;\\\ &\text{Condições em }x: \quad \partial_{x}u(0,y)=0,\quad \partial_{x}u(\pi,y)=0,\quad 0\le y\le\pi. \end{aligned}çãçõçõ
Perguntas:
(a) Verificar que, para todo número natural n, a função
u_{n}(x,y)=\cos(nx)\,\operatorname{sinh}(ny)
satisfaz o problema acima quando f_{1}(x)=0 e f_{2}(x)=\operatorname{sinh}(n\pi)\cos(nx).
(b) Determinar a solução quando f_{1}(x)=0 e f_{2}(x)=2\cos x-\cos(2x), para 0\le x\le\pi.
(c) Determinar a solução quando f_{1}(x)=5\cos x-\cos(5x) e f_{2}(x)=2\cos x-\cos(2x), para 0\le x\le\pi.
Observação: não há figura faltando; todas as informações necessárias estão no enunciado.

Passo 2

Breve explicação do método que vamos usar (separação de variáveis e séries de Fourier) — aula rapidinha e informal.
  • Queremos soluções da equação de Laplace com condições Neumann em x e valores prescritos em y. Uma técnica padrão é procurar soluções por separação de variáveis: assumir uma forma produto
u(x,y)=X(x)\,Y(y).
  • Substituindo na equação \partial_x^2 u+\partial_y^2 u=0 obtemos
\frac{X''(x)}{X(x)} + \frac{Y''(y)}{Y(y)} = 0.
Isso implica que cada termo deve ser constante (porque um depende só de x e outro só de y). Chamamos essa constante de -\lambda. Assim obtemos os dois EDOs
X''+\lambda X=0,\qquad Y''-\lambda Y=0.
  • As condições de contorno em x são Neumann homogêneas:
X'(0)=0,\qquad X'(\pi)=0.
Essas condições implicam que os autovalores \lambda são \lambda=n^{2} com n=0,1,2,\dots, e os autovetores correspondentes (funções em x) são X_{n}(x)=\cos(nx). (Raciocínio: as soluções de X''+\lambda X=0 são combinações de \cos(\sqrt{\lambda}x) e \sin(\sqrt{\lambda}x). A condição X'(0)=0 elimina o \cos com derivada não nula; X'(\pi)=0 leva a \sin(\sqrt{\lambda}\pi)=0, daí \sqrt{\lambda}=n.)
  • Para cada n\ge 1 a EDO em y é Y''-n^{2}Y=0, cuja base de soluções é \operatorname{cosh}(ny) e \operatorname{sinh}(ny). Logo o modo separado associado a n tem forma
u_{n}(x,y)=\cos(nx)\big(A_{n}\operatorname{cosh}(ny)+B_{n}\operatorname{sinh}(ny)\big).
  • Em particular, o modo com A_{n}=0 e B_{n}=1 é exatamente u_{n}(x,y)=\cos(nx)\operatorname{sinh}(ny), que é o que a parte (a) pede para verificar. Em termos práticos, a solução geral (somando modos) é
u(x,y)=\sum_{n=0}^{\infty}\cos(nx)\big(A_{n}\operatorname{cosh}(ny)+B_{n}\operatorname{sinh}(ny)\big),
onde os coeficientes A_{n} e B_{n} são determinados pelas condições em y:
u(x,0)=\sum_{n=0}^{\infty}A_{n}\cos(nx)=f_{1}(x),\qquad u(x,\pi)=\sum_{n=0}^{\infty}\cos(nx)\big(A_{n}\operatorname{cosh}(n\pi)+B_{n}\operatorname{sinh}(n\pi)\big)=f_{2}(x).
  • Assim, para cada n\ge 1 (vamos tratar n=0 separadamente se necessário), se denotarmos por \alpha_{n} o coeficiente de \cos(nx) em f_{1} e por \beta_{n} o coeficiente de \cos(nx) em f_{2}, obtemos as relações
A_{n}=\alpha_{n},\qquad A_{n}\operatorname{cosh}(n\pi)+B_{n}\operatorname{sinh}(n\pi)=\beta_{n},
ou seja
B_{n}=\frac{\beta_{n}-\alpha_{n}\operatorname{cosh}(n\pi)}{\operatorname{sinh}(n\pi)}.
  • Essa é a receita: expandir f_{1} e f_{2} em séries de cossenos (aqui os f já estão dadas em termos de cossenos), pegar \alpha_{n} e \beta_{n} e montar u(x,y).

Passo 3

Parte (a): verificar que u_{n}(x,y)=\cos(nx)\operatorname{sinh}(ny) satisfaz a equação de Laplace e as condições de contorno indicadas quando f_{1}=0 e f_{2}=\operatorname{sinh}(n\pi)\cos(nx).
  • Primeiro calcule as derivadas segundas:
\partial_{x}^{2}u_{n}(x,y)=\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}\big(\cos(nx)\operatorname{sinh}(ny)\big) = (-n^{2})\cos(nx)\operatorname{sinh}(ny).
\partial_{y}^{2}u_{n}(x,y)=\frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}}\big(\cos(nx)\operatorname{sinh}(ny)\big) = n^{2}\cos(nx)\operatorname{sinh}(ny).
  • Somando:
\partial_{x}^{2}u_{n}+\partial_{y}^{2}u_{n}=(-n^{2}+n^{2})\cos(nx)\operatorname{sinh}(ny)=0,
logo satisfaz a equação de Laplace.
  • Condições em x: calcule \partial_{x}u_{n}(x,y):
\partial_{x}u_{n}(x,y)=-n\sin(nx)\operatorname{sinh}(ny).
Em x=0 temos \sin(n\cdot 0)=0, logo \partial_{x}u_{n}(0,y)=0. Em x=\pi temos \sin(n\pi)=0 para n inteiro, logo \partial_{x}u_{n}(\pi,y)=0. Assim as condições de isolamento nas bordas x=0 e x=\pi são satisfeitas.
  • Condições em y: em y=0 temos \operatorname{sinh}(0)=0, então
u_{n}(x,0)=\cos(nx)\operatorname{sinh}(0)=0,
logo corresponde a f_{1}(x)=0. Em y=\pi temos
u_{n}(x,\pi)=\cos(nx)\operatorname{sinh}(n\pi),
logo corresponde a f_{2}(x)=\operatorname{sinh}(n\pi)\cos(nx).
Concluímos que u_{n} satisfaz todas as equações e condições para os dados indicados, como pedido.

Passo 4

Parte (b): construir explicitamente a solução quando f_{1}(x)=0 e f_{2}(x)=2\cos x-\cos(2x).
  • Pela receita do Passo 2, expandimos f_{1} e f_{2} em cossenos. Aqui já está explícito:
f_{1}(x)=0\quad\Longrightarrow\quad \alpha_{n}=0\\ \text{para todo }n;
f_{2}(x)=2\cos x-\cos(2x)\quad\Longrightarrow\quad \beta_{1}=2,\\ \beta_{2}=-1,\\ \beta_{n}=0\\ \text{para }n\ne1,2.
  • Para cada n\ge 1 a solução tem a forma
u_{n}(x,y)=\cos(nx)\big(A_{n}\operatorname{cosh}(ny)+B_{n}\operatorname{sinh}(ny)\big)
com A_{n}=\alpha_{n}=0 (porque f_{1}=0), então
u_{n}(x,y)=B_{n}\cos(nx)\operatorname{sinh}(ny),
e a condição em y=\pi pede B_{n}\operatorname{sinh}(n\pi)=\beta_{n}, isto é
B_{n}=\frac{\beta_{n}}{\operatorname{sinh}(n\pi)}.
  • Portanto só os modos n=1 e n=2 aparecem. Calculando os coeficientes:
B_{1}=\frac{\beta_{1}}{\operatorname{sinh}(\pi)}=\frac{2}{\operatorname{sinh}(\pi)},\qquad B_{2}=\frac{\beta_{2}}{\operatorname{sinh}(2\pi)}=\frac{-1}{\operatorname{sinh}(2\pi)}.
  • A solução completa é a soma dos modos não nulos:
u(x,y)=\frac{2}{\operatorname{sinh}(\pi)}\cos x\,\operatorname{sinh}(y)\;-\;\frac{1}{\operatorname{sinh}(2\pi)}\cos(2x)\,\operatorname{sinh}(2y).

Passo 5

Parte (c): construir explicitamente a solução quando f_{1}(x)=5\cos x-\cos(5x) e f_{2}(x)=2\cos x-\cos(2x).
  • Primeiro identifique os coeficientes \alpha_{n} (de f_{1}) e \beta_{n} (de f_{2}):
\alpha_{1}=5,\\ \alpha_{5}=-1,\\ \alpha_{n}=0\\ \text{para outros }n;
\beta_{1}=2,\\ \beta_{2}=-1,\\ \beta_{n}=0\\ \text{para outros }n.
  • Para cada n\ge 1 a fórmula do Passo 2 dá
A_{n}=\alpha_{n},\qquad B_{n}=\frac{\beta_{n}-\alpha_{n}\operatorname{cosh}(n\pi)}{\operatorname{sinh}(n\pi)}.
Vamos calcular apenas os n que aparecem ( n=1,2,5); para os outros n terá A_{n}=B_{n}=0.
  • Para n=1:
A_{1}=\alpha_{1}=5,
B_{1}=\frac{\beta_{1}-\alpha_{1}\operatorname{cosh}(\pi)}{\operatorname{sinh}(\pi)} =\frac{2-5\operatorname{cosh}(\pi)}{\operatorname{sinh}(\pi)}.
Logo o modo n=1 é
u_{1}(x,y)=\cos x\big(5\operatorname{cosh}(y)+\tfrac{2-5\operatorname{cosh}(\pi)}{\operatorname{sinh}(\pi)}\operatorname{sinh}(y)\big).
  • Para n=2:
A_{2}=\alpha_{2}=0,\qquad B_{2}=\frac{\beta_{2}-0\cdot\operatorname{cosh}(2\pi)}{\operatorname{sinh}(2\pi)}=\frac{-1}{\operatorname{sinh}(2\pi)}.
O modo n=2 é
u_{2}(x,y)=-\frac{1}{\operatorname{sinh}(2\pi)}\cos(2x)\,\operatorname{sinh}(2y).
  • Para n=5:
A_{5}=\alpha_{5}=-1,
B_{5}=\frac{\beta_{5}-\alpha_{5}\operatorname{cosh}(5\pi)}{\operatorname{sinh}(5\pi)} =\frac{0-(-1)\operatorname{cosh}(5\pi)}{\operatorname{sinh}(5\pi)}=\frac{\operatorname{cosh}(5\pi)}{\operatorname{sinh}(5\pi)}=\coth(5\pi).
O modo n=5 é
u_{5}(x,y)=\cos(5x)\big(-\operatorname{cosh}(5y)+\coth(5\pi)\operatorname{sinh}(5y)\big).
  • Somando os modos não nulos, a solução é
\begin{aligned} u(x,y)=\\ &\cos x\Big(5\operatorname{cosh}(y)+\frac{2-5\operatorname{cosh}(\pi)}{\operatorname{sinh}(\pi)}\operatorname{sinh}(y)\Big)\\\ &-\frac{1}{\operatorname{sinh}(2\pi)}\cos(2x)\,\operatorname{sinh}(2y)\\\ &+\cos(5x)\Big(-\operatorname{cosh}(5y)+\coth(5\pi)\operatorname{sinh}(5y)\Big). \end{aligned}
As demais componentes (para n diferentes de 1,2,5) são nulas porque \alpha_{n}=\beta_{n}=0.

Resposta

(a) u_{n}(x,y)=\cos(nx)\operatorname{sinh}(ny) satisfaz \partial_{x}^{2}u+\partial_{y}^{2}u=0, \partial_{x}u(0,y)=\partial_{x}u(\pi,y)=0, u(x,0)=0 e u(x,\pi)=\operatorname{sinh}(n\pi)\cos(nx).\n
(b) \displaystyle u(x,y)=\frac{2}{\operatorname{sinh}(\pi)}\cos x\,\operatorname{sinh}(y)\;-\;\frac{1}{\operatorname{sinh}(2\pi)}\cos(2x)\,\operatorname{sinh}(2y).\n
(c) \displaystyle u(x,y)=\cos x\Big(5\operatorname{cosh}(y)+\frac{2-5\operatorname{cosh}(\pi)}{\operatorname{sinh}(\pi)}\operatorname{sinh}(y)\Big)-\frac{1}{\operatorname{sinh}(2\pi)}\cos(2x)\,\operatorname{sinh}(2y)+\cos(5x)\Big(-\operatorname{cosh}(5y)+\coth(5\pi)\operatorname{sinh}(5y)\Big).

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