Questão 8: Considere a reta r de equação
x-12=y-2=z-23
e considere o plano pi de equação 2 x+y+z=-2. Determine a equação do plano alpha que contém a reta r e é perpendicular ao plano pi.

Passo 1

O enunciado dá a reta r de equação
x-12=y-2=z-23
e o plano pi de equação
2x + y + z = -2
Queremos achar o plano alpha que contém r e é perpendicular a pi. Para isso precisamos de (i) um vetor diretor de r, (ii) um ponto em r e (iii) usar que, se dois planos são perpendiculares, então seus vetores normais são ortogonais.

Passo 2

Escrevendo a forma paramétrica de r, seja o parâmetro t:
x = 1 + 2t, y = 2 + t, z = 2 + 3t
Dessa forma um ponto em r é P0=(1,2,2) e um vetor diretor é
vec vr = (2,,1,,3)

Passo 3

O plano pi tem equação 2x+y+z=-2, logo seu vetor normal é
vec npi = (2,,1,,1)

Passo 4

Para que alpha contenha r, seu normal vec nalpha deve ser ortogonal a vec vr. Para que alpha seja perpendicular a pi, deve valer vec nalphacdotvec npi=0. Logo vec nalpha é um vetor ortogonal a vec vr e a vec npi, ou seja,
vec nalpha = vec vr times vec npi = i & j & k 2 & 1 & 3 2 & 1 & 1 = (-2,,4,,0)
Podemos simplificar dividindo por 2 e usar
vec nalpha =(-1,2,0).

Passo 5

A equação do plano alpha com normal vec nalpha=(-1,2,0) que passa por P0=(1,2,2) é
-1,(x-1)+2,(y-2)+0,(z-2)=0
Expandindo:
- x +1 +2y -4 =0 Longrightarrow x - 2y +3 = 0

Resposta

A equação do plano alpha é
boxedx - 2y + 3 = 0

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