Questão 7 Identificar a superfície dada em coordenadas cilíndricas ou esféricas
(b) \rho^{2} \cos (2 \theta)=-4 z

Passo 1

O enunciado dá a equação
\rho^{2}\cos(2\theta) = -4z
e pede para identificar a superfície descrita por essa equação. As informações relevantes que nos foram dadas são:
  • A equação está escrita em coordenadas cilíndricas usando as variáveis \rho, \theta e z.
  • Queremos transformar/interpretar essa relação e dizer que tipo de superfície no espaço ela representa (uma descrição em coordenadas cartesianas ajuda a identificar).

Passo 2

Vamos lembrar as fórmulas de conversão entre coordenadas cilíndricas e cartesianas (vou explicar devagar porque isso aparece direto na prova):
x = \rho\cos\theta,\qquad y = \rho\sin\theta,\qquad z = z.
Aqui \rho é a distância do ponto ao eixo z (no plano xy), \theta é o ângulo no plano xy e z é a altura usual. Essas fórmulas servem para escrever qualquer expressão com \rho e \theta em termos de x e y.
Também vamos usar a identidade trigonométrica
\cos(2\theta) = \cos^2\theta - \sin^2\theta.
Agora, se multiplicarmos essa identidade por \rho^2 obtemos
\rho^{2}\cos(2\theta) = \rho^{2}(\cos^2\theta - \sin^2\theta).

Passo 3

Substituímos \rho\cos\theta = x e \rho\sin\theta = y na expressão anterior. Note que
\rho^{2}\cos^2\theta = (\rho\cos\theta)^2 = x^2,
\rho^{2}\sin^2\theta = (\rho\sin\theta)^2 = y^2.
Portanto
\rho^{2}\cos(2\theta) = x^2 - y^2.
Agora colocamos isso na equação original \rho^{2}\cos(2\theta) = -4z. Substituindo, obtemos a forma cartesiana da superfície:
x^2 - y^2 = -4z.
Podemos isolar z:
z = -\frac{1}{4}(x^2 - y^2) = \frac{y^2 - x^2}{4}.

Passo 4

Agora vamos identificar que tipo de superfície é essa. Observe a forma de z em função de x e y:
z = -\tfrac{1}{4}x^2 + \tfrac{1}{4}y^2.
É uma função quadrática em x e y com sinais opostos nas duas variáveis. Isso é típico de um “assento de sela” — mais formalmente, um paraboloide hiperbólico. Para ver isso concretamente, examine seções:
  • Corte com a reta y=0: \;z = -\tfrac{1}{4}x^2, que é uma parábola voltada para baixo.
  • Corte com a reta x=0: \;z = \tfrac{1}{4}y^2, que é uma parábola voltada para cima.
  • Corte com z= constante c x^2 - y^2 = -4c, que são hipérboles no plano xy (quando c varia, muda a abertura).
Esses fatos (parábolas com concavidades opostas ao cortar por planos coordenados e hipérboles em cortes horizontais) são exatamente a característica do paraboloide hiperbólico. Em linguagem geométrica: é uma superfície do tipo sela.

Passo 5

Resumo prático para a prova: transforme \rho^{2}\cos(2\theta) em coordenadas cartesianas usando x=\rho\cos\theta e y=\rho\sin\theta, você chega em x^2-y^2=-4z, que é a equação de um paraboloide hiperbólico. Se for preciso, memorizo: sinais opostos em x^2 e y^2 indicam “hiperbólico” (sela).

Resposta

Paraboloide hiperbólico (sela), cuja equação em coordenadas cartesianas é \;x^{2}-y^{2}=-4z\; ou equivalente \;z=\dfrac{y^{2}-x^{2}}{4}.

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