Questão 7 Identificar a superfície dada em coordenadas cilíndricas ou esféricas
(b)
(b)
Passo 1
O enunciado dá a equação
e pede para identificar a superfície descrita por essa equação. As informações relevantes que nos foram dadas são:
- A equação está escrita em coordenadas cilíndricas usando as variáveis
, e . - Queremos transformar/interpretar essa relação e dizer que tipo de superfície no espaço ela representa (uma descrição em coordenadas cartesianas ajuda a identificar).
Passo 2
Vamos lembrar as fórmulas de conversão entre coordenadas cilíndricas e cartesianas (vou explicar devagar porque isso aparece direto na prova):
Aqui
é a distância do ponto ao eixo
(no plano
),
é o ângulo no plano
e
é a altura usual. Essas fórmulas servem para escrever qualquer expressão com
e
em termos de
e
.
Também vamos usar a identidade trigonométrica
Agora, se multiplicarmos essa identidade por
obtemos
Passo 3
Substituímos
e
na expressão anterior. Note que
Portanto
Agora colocamos isso na equação original
. Substituindo, obtemos a forma cartesiana da superfície:
Podemos isolar
:
Passo 4
Agora vamos identificar que tipo de superfície é essa. Observe a forma de
em função de
e
:
É uma função quadrática em
e
com sinais opostos nas duas variáveis. Isso é típico de um “assento de sela” — mais formalmente, um paraboloide hiperbólico. Para ver isso concretamente, examine seções:
- Corte com a reta
: , que é uma parábola voltada para baixo. - Corte com a reta
: , que é uma parábola voltada para cima. - Corte com
constante dá , que são hipérboles no plano (quando varia, muda a abertura).
Esses fatos (parábolas com concavidades opostas ao cortar por planos coordenados e hipérboles em cortes horizontais) são exatamente a característica do paraboloide hiperbólico. Em linguagem geométrica: é uma superfície do tipo sela.
Passo 5
Resumo prático para a prova: transforme
em coordenadas cartesianas usando
e
, você chega em
, que é a equação de um paraboloide hiperbólico. Se for preciso, memorizo: sinais opostos em
e
indicam “hiperbólico” (sela).
Resposta
Paraboloide hiperbólico (sela), cuja equação em coordenadas cartesianas é
ou equivalente
.