Questão 10. As coordenadas cartesianas dos pontos são dadas.
a) (2,-2)
b) (-1, \sqrt{3})
c) (3 \sqrt{3}, 3)
d) (1,-2)
Encontre as coodenadas polares ( r, \theta ) do ponto, onde r<0 e 0 \leq \theta \leq 2 \pi.

Passo 1

O enunciado fornece quatro pontos em coordenadas cartesianas e pede para encontrar coordenadas polares (r,\theta) com r<0 e 0\le\theta\le2\pi. Vamos usar as relações
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta
permitindo que r seja negativo, o que fixa \theta unicamente em [0,2\pi].

Passo 2

Para garantir r<0, definimos
r = -\sqrt{x^2 + y^2},
pois \sqrt{x^2+y^2} é sempre não negativo e assim r fica estritamente negativo.

Passo 3

Substituindo em
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta
com r<0, obtemos
\cos\theta = \frac{x}{r} = \frac{-x}{\sqrt{x^2+y^2}}, \quad \sin\theta = \frac{y}{r} = \frac{-y}{\sqrt{x^2+y^2}}.
Ou seja, \theta é o ângulo do vetor (-x,-y) no plano, medido em [0,2\pi]. Podemos escrevê-lo como
\theta = \mathrm{atan2}(-y,-x).

Passo 4

Para (2,-2):
\sqrt{x^2+y^2}=2\sqrt{2},\quad r=-2\sqrt{2},
e (-x,-y)=(-2,2) está no II quadrante, dando
\theta = \frac{3\pi}{4}.

Passo 5

Para (-1,\sqrt{3}):
\sqrt{x^2+y^2}=2,\quad r=-2,
e (-x,-y)=(1,-\sqrt{3}) está no IV quadrante, então
\theta = 2\pi - \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{3}.

Passo 6

Para (3\sqrt{3},3):
\sqrt{x^2+y^2}=6,\quad r=-6,
e (-x,-y)=(-3\sqrt{3},-3) está no III quadrante, logo
\theta = \pi + \frac{\pi}{6} = \frac{7\pi}{6}.

Passo 7

Para (1,-2):
\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{5},\quad r=-\sqrt{5},
e (-x,-y)=(-1,2) está no II quadrante, resultando em
\theta = \pi - \arctan\bigl(2\bigr).

Resposta

a) \bigl(-2\sqrt{2},\tfrac{3\pi}{4}\bigr)
b) \bigl(-2,\tfrac{5\pi}{3}\bigr)
c) \bigl(-6,\tfrac{7\pi}{6}\bigr)
d) \bigl(-\sqrt{5},\,\pi - \arctan\bigl(2\bigr)\bigr)

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