Questão 10. As coordenadas cartesianas dos pontos são dadas.
a) (2,-2)
b) (-1, \sqrt{3})
c) (3 \sqrt{3}, 3)
d) (1,-2)
Encontre as coodenadas polares ( r, \theta ) do ponto, onde r>0 e 0 \leq \theta \leq 2 \pi.

Passo 1

O enunciado dá quatro pontos no plano:
a) (2,-2)
b) (-1,\sqrt{3})
c) (3\sqrt{3},3)
d) (1,-2)
Precisamos encontrar, para cada ponto, as coordenadas polares (r,\theta) com r>0 e \theta\in[0,2\pi].

Passo 2

Para converter um ponto (x,y) em coordenada polar fazemos r = \sqrt{x^2 + y^2} \theta = \atan2(y,x)
Como \atan2(y,x)\in(-\pi,\pi], se \theta<0 somamos 2\pi para obter \theta\in[0,2\pi).

Passo 3

Para a) (2,-2):
r = \sqrt{2^2 + (-2)^2} = 2\sqrt{2}.
\theta = \atan2(-2,2) = -\frac{\pi}{4},
como \theta<0 adicionamos 2\pi:
\theta = 2\pi - \frac{\pi}{4} = \frac{7\pi}{4}.

Passo 4

Para b) (-1,\sqrt{3}):
r = \sqrt{(-1)^2 + (\sqrt{3})^2} = 2.
\theta = \atan2(\sqrt{3},-1) = \frac{2\pi}{3},
que já está em [0,2\pi), sem ajuste.

Passo 5

Para c) (3\sqrt{3},3):
r = \sqrt{(3\sqrt{3})^2 + 3^2} = 6.
\theta = \atan2(3,3\sqrt{3}) = \frac{\pi}{6},
que está em [0,2\pi).

Passo 6

Para d) (1,-2):
r = \sqrt{1^2 + (-2)^2} = \sqrt{5}.
\theta = \atan2(-2,1) = -\arctan(2),
como é negativo, somamos 2\pi:
\theta = 2\pi - \arctan(2).

Resposta

a) \bigl(2\sqrt{2},\,\tfrac{7\pi}{4}\bigr)
b) \bigl(2,\,\tfrac{2\pi}{3}\bigr)
c) \bigl(6,\,\tfrac{\pi}{6}\bigr)
d) \bigl(\sqrt{5},\,2\pi - \arctan(2)\bigr)

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