QUESTÃO 10: (D1) Resolva:
\sqrt{289} + \sqrt{3}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a expressão \sqrt{289} + \sqrt{3}. As informações dadas são apenas os dois radicandos: 289 e 3. Nosso objetivo é simplificar essa soma o máximo possível (em forma exata).

Passo 2

Vamos lembrar o que significa a operação \sqrt{\;}. A raiz quadrada \sqrt{a} é o número não negativo que, ao ser multiplicado por si mesmo, dá a. Ou seja, x=\sqrt{a} se e somente se x\ge0 e x^2=a.

Passo 3

Quando o radicando é um quadrado perfeito (isto é, o quadrado de um número inteiro), a raiz quadrada é um número inteiro. Exemplos rápidos: \sqrt{1}=1, \sqrt{4}=2, \sqrt{9}=3, etc. Para verificar se 289 é um quadrado perfeito, podemos tentar um inteiro cujo quadrado seja 289.

Passo 4

Testando 17: calcule 17\cdot17.
17\cdot17=289.
Como 17^2=289, concluímos que 289 é um quadrado perfeito e
\sqrt{289}=17.

Passo 5

Agora olhamos para \sqrt{3}. O número 3 não é um quadrado perfeito (os quadrados inteiros próximos são 1^2=1 e 2^2=4), e 3 é primo, logo não há fator quadrado para simplificar. Portanto \sqrt{3} permanece na forma irracional \sqrt{3}.

Passo 6

Juntando as duas partes já simplificadas, a expressão fica
\sqrt{289}+\sqrt{3}=17+\sqrt{3}.

Passo 7

Se você quiser uma ideia numérica rápida (só para intuir o valor), lembre que \sqrt{3}\approx1,732. Assim
17+\sqrt{3}\approx17+1,732=18,732.
Mas a forma exata mais simples é 17+\sqrt{3}.

Resposta

\;17+\sqrt{3}

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