QUESTÃO 10: (D1) Resolva:
\sqrt{3024}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a raiz quadrada de 3024.
Informações dadas: o radicando é 3024.
Pergunta: apresentar a raiz quadrada de 3024 numa forma simplificada (ou seja, extrair fatores quadrados).

Passo 2

O que significa simplificar \sqrt{\cdot}?
Quando temos \sqrt{N} e conseguimos escrever N como produto de um quadrado perfeito k^2 por outro número m, isto é N=k^2\cdot m, então
\sqrt{N}= \sqrt{k^2\cdot m}=k\sqrt{m}.
Aqui k sai da raiz e \sqrt{m} permanece. Para encontrar esses k e m costuma-se fatorar N em fatores primos e agrupar os fatores em pares (cada par forma um quadrado).

Passo 3

Vamos fatorar 3024 em primos passo a passo (dividindo por primos pequenos e anotando as divisões):
3024\div 2 = 1512
1512\div 2 = 756
756\div 2 = 378
378\div 2 = 189
Agora 189 não é par, testamos por 3:
189\div 3 = 63
63\div 3 = 21
21\div 3 = 7
7\div 7 = 1
Terminamos com 1. Reunindo os fatores obtidos, temos:
3024 = 2^4\cdot 3^3\cdot 7^1.

Passo 4

Agora vamos formar pares de fatores (cada par é um quadrado que pode sair da raiz). Para um primo com expoente e, podemos tirar e\div 2 (parte inteira) pares para fora e deixar e\bmod 2 fatores dentro. Aplicando aos nossos fatores:
  • Para 2^4: 4 2 pares, portanto contribui com 2^{2} fora da raiz.
  • Para 3^3: 3 1 par e sobra um 3 dentro; então contribui com 3^{1} fora e deixa um 3 dentro.
  • Para 7^1: não há par, fica inteiro dentro.
Escrevendo isso em forma de raiz:
\sqrt{3024}=\sqrt{2^4\cdot 3^3\cdot 7} = 2^{2}\cdot 3^{1}\cdot \sqrt{3\cdot 7}.

Passo 5

Multiplicando os fatores que saíram da raiz:
2^{2}\cdot 3^{1}=4\cdot 3=12.
E dentro da raiz restou 3\cdot 7=21. Portanto
\sqrt{3024}=12\sqrt{21}.

Passo 6

Verificação rápida (para ganhar confiança): quadrando o resultado obtemos
(12\sqrt{21})^2 = 12^2\cdot (\sqrt{21})^2 = 144\cdot 21 = 3024,
logo está correto.

Passo 7

Dica prática para a prova: às vezes você percebe um quadrado perfeito grande dentro do número. Aqui 144=12^2 é um quadrado perfeito e 3024\div 144=21, então já dá para ver direto que \sqrt{3024}=12\sqrt{21}. Fazer a fatoração em primos garante que você não erra quando o quadrado perfeito não é óbvio.

Resposta

12\sqrt{21}

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