QUESTÃO 10: (D1) Resolva:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a raiz quadrada de
.
Informações dadas: o radicando é .
Pergunta: apresentar a raiz quadrada de numa forma simplificada (ou seja, extrair fatores quadrados).
Informações dadas: o radicando é
Pergunta: apresentar a raiz quadrada de
Passo 2
O que significa simplificar
?
Quando temos e conseguimos escrever
como produto de um quadrado perfeito
por outro número
, isto é
, então
Quando temos
Aqui
sai da raiz e
permanece. Para encontrar esses
e
costuma-se fatorar
em fatores primos e agrupar os fatores em pares (cada par forma um quadrado).
Passo 3
Vamos fatorar
em primos passo a passo (dividindo por primos pequenos e anotando as divisões):
Agora
não é par, testamos por
:
Terminamos com
. Reunindo os fatores obtidos, temos:
Passo 4
Agora vamos formar pares de fatores (cada par é um quadrado que pode sair da raiz). Para um primo com expoente
, podemos tirar
(parte inteira) pares para fora e deixar
fatores dentro. Aplicando aos nossos fatores:
- Para
: dá pares, portanto contribui com fora da raiz. - Para
: dá par e sobra um dentro; então contribui com fora e deixa um dentro. - Para
: não há par, fica inteiro dentro.
Escrevendo isso em forma de raiz:
Passo 5
Multiplicando os fatores que saíram da raiz:
E dentro da raiz restou
. Portanto
Passo 6
Verificação rápida (para ganhar confiança): quadrando o resultado obtemos
logo está correto.
Passo 7
Dica prática para a prova: às vezes você percebe um quadrado perfeito grande dentro do número. Aqui
é um quadrado perfeito e
, então já dá para ver direto que
. Fazer a fatoração em primos garante que você não erra quando o quadrado perfeito não é óbvio.