QUESTÃO 10: (D1) Resolva:
Passo 1
O enunciado pede para calcular
.
Informações relevantes que o enunciado dá (implícitas): temos o número e queremos a sua raiz cúbica, isto é, um número que elevado à potência
dê
.
Informações relevantes que o enunciado dá (implícitas): temos o número
Passo 2
O que significa
e propriedades úteis:
- A expressão
é a raiz cúbica de ; equivalentemente podemos escrever . Aqui a variável é o número cujo cubo queremos “desfazer”. - Propriedade de produto para raízes:
. Essa propriedade vale porque . - Se um fator dentro da raiz é uma potência perfeita de
(um cubo perfeito, como ), esse fator pode ser “tirado” da raiz: .
Vou usar essas ideias para simplificar a raiz em termos de um fator inteiro vezes uma raiz cúbica menor.
Passo 3
Fatoração de
para procurar cubos perfeitos:
Faço divisões simples: ,
,
. Logo
.
Também podemos escrever em fatores primos: .
Observe que é um cubo perfeito.
Faço divisões simples:
Também podemos escrever em fatores primos:
Observe que
Passo 4
Aplicando a propriedade de extração de cubos:
Explicando cada pedaço: como
(porque
é exatamente um cubo perfeito), sobra
dentro da raiz.
Forma alternativa usando potências: , então outra escrita é
.
Forma alternativa usando potências:
Passo 5
Aproximação decimal (útil para conferir ou usar numericamente):
Primeiro limite rápido: e
, portanto
está entre
e
, bem próximo de
.
Um método simples para melhorar a aproximação é o método de Newton para raiz cúbica de : dada aproximação
,
Primeiro limite rápido:
Um método simples para melhorar a aproximação é o método de Newton para raiz cúbica de
Para
e chute inicial
:
Cálculo de :
Cálculo de
Uma iteração adicional dá uma precisão bem melhor. Com
:
Verificação rápida:
(até os dígitos mostrados).
Portanto uma aproximação com boa precisão é . Para a prova, normalmente basta usar
se pedirem 3 casas decimais.
Portanto uma aproximação com boa precisão é
Passo 6
Dica de prova (como fazer rápido e sem erro):
- Sempre tente fatorar o número e buscar potências perfeitas (aqui, cubos perfeitos) que possam ser extraídas. Isso simplifica a expressão e evita cálculos longos.
- Se precisarem de aproximação numérica, comparar com cubos inteiros vizinhos (
e ) já dá um intervalo; se quiser mais precisão, uma iteração de Newton a partir do vizinho mais próximo é rápida e converge muito rápido. - Memorize cubos pequenos:
, , , , , , , . Eles ajudam a reconhecer fatores como aqui.