QUESTÃO 10: (D1) Resolva:
\sqrt[3]{500}

Passo 1

O enunciado pede para calcular \sqrt[3]{500}.
Informações relevantes que o enunciado dá (implícitas): temos o número 500 e queremos a sua raiz cúbica, isto é, um número que elevado à potência 3 500.

Passo 2

O que significa \sqrt[3]{\,\cdot\,} e propriedades úteis:
  • A expressão \sqrt[3]{x} é a raiz cúbica de x; equivalentemente podemos escrever \sqrt[3]{x} = x^{1/3}. Aqui a variável x é o número cujo cubo queremos “desfazer”.
  • Propriedade de produto para raízes: \sqrt[3]{ab} = \sqrt[3]{a}\cdot\sqrt[3]{b}. Essa propriedade vale porque ( \sqrt[3]{a}\cdot\sqrt[3]{b} )^3 = a\cdot b.
  • Se um fator dentro da raiz é uma potência perfeita de 3 (um cubo perfeito, como 1^3,2^3,3^3,\dots), esse fator pode ser “tirado” da raiz: \sqrt[3]{k^3\cdot m} = k\sqrt[3]{m}.
    Vou usar essas ideias para simplificar a raiz em termos de um fator inteiro vezes uma raiz cúbica menor.

Passo 3

Fatoração de 500 para procurar cubos perfeitos:
Faço divisões simples: 500\div5=100, 100\div5=20, 20\div5=4. Logo 500 = 5\cdot5\cdot5\cdot4 = 5^3\cdot4.
Também podemos escrever em fatores primos: 500 = 2^2\cdot5^3.
Observe que 5^3 é um cubo perfeito.

Passo 4

Aplicando a propriedade de extração de cubos:
\sqrt[3]{500}=\sqrt[3]{5^3\cdot4}=\sqrt[3]{5^3}\cdot\sqrt[3]{4}=5\sqrt[3]{4}.
Explicando cada pedaço: como \sqrt[3]{5^3}=5 (porque 5^3 é exatamente um cubo perfeito), sobra \sqrt[3]{4} dentro da raiz.
Forma alternativa usando potências: \sqrt[3]{4}=4^{1/3}=(2^2)^{1/3}=2^{2/3}, então outra escrita é \sqrt[3]{500}=5\cdot2^{2/3}.

Passo 5

Aproximação decimal (útil para conferir ou usar numericamente):
Primeiro limite rápido: 7^3=343 e 8^3=512, portanto \sqrt[3]{500} está entre 7 e 8, bem próximo de 8.
Um método simples para melhorar a aproximação é o método de Newton para raiz cúbica de a: dada aproximação x_n,
x_{n+1}=\frac{2x_n+\dfrac{a}{x_n^2}}{3}.
Para a=500 e chute inicial x_0=8:
Cálculo de x_1:
x_1=\frac{2\cdot 8 + \dfrac{500}{8^2}}{3}=\frac{16+\dfrac{500}{64}}{3}=\frac{16+7,8125}{3}=\frac{23,8125}{3}=7,9375.
Uma iteração adicional dá uma precisão bem melhor. Com x_1=7,9375:
x_2=\frac{2\cdot 7,9375 + \dfrac{500}{7,9375^2}}{3}\approx 7,937005259\dots
Verificação rápida: (7,937005259)^3\approx 500 (até os dígitos mostrados).
Portanto uma aproximação com boa precisão é \sqrt[3]{500}\approx 7,937005259. Para a prova, normalmente basta usar 7,937 se pedirem 3 casas decimais.

Passo 6

Dica de prova (como fazer rápido e sem erro):
  • Sempre tente fatorar o número e buscar potências perfeitas (aqui, cubos perfeitos) que possam ser extraídas. Isso simplifica a expressão e evita cálculos longos.
  • Se precisarem de aproximação numérica, comparar com cubos inteiros vizinhos ( 7^3 e 8^3) já dá um intervalo; se quiser mais precisão, uma iteração de Newton a partir do vizinho mais próximo é rápida e converge muito rápido.
  • Memorize cubos pequenos: 1^3=1, 2^3=8, 3^3=27, 4^3=64, 5^3=125, 6^3=216, 7^3=343, 8^3=512. Eles ajudam a reconhecer fatores como 125 aqui.

Resposta

\;5\sqrt[3]{4}
\approx 7,937005259

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