Questão 10. Numa determinada localidade, a distribuição de renda (em reais) é uma variável aleatória com função de densidade
f(x)= 110 x+110, & 0 <= x <= 2 -340 x+920, & 2<x <= 6 0, & x<0 ou x>6
a) Qual a renda média localidade?
b) Escolhida uma pessoa ao acaso, qual a probabilidade de sua renda ser superior a R$3.000,00?
c) Qual a mediana da variável?

Passo 1

O enunciado dá a densidade de renda
e pede
(a) a renda média ,
(c) a mediana tal que .
Vamos usar definição de esperança via integrais, cálculo de probabilidade e encontrar resolvendo .

Passo 2

Calculamos
E[X] =integral0^2xl(tfrac110x+tfrac110r),dx +integral2^6xl(-tfrac340x+tfrac920r),dx
Para o primeiro termo:
integral0^2l(tfrac110x^2+tfrac110xr)dx =tfrac110l[tfracx^33+tfracx^22r]0^2 =tfrac110l(tfrac83+2r) =tfrac715
Para o segundo termo:
integral2^6l(-tfrac340x^2+tfrac920xr)dx =l[-tfrac380x^2+tfrac920xr]2^6 =(2,7)-(0,7)=2
Somando,
E[X] =tfrac715+2 =tfrac3715approx2,4667(milhares),
isto é approx R$2.466,67.

Passo 3

Para P(X>3) integramos no ramo 2<x<=6:
P(X>3) =integral3^6l(-tfrac340x+tfrac920r)dx =l[-tfrac380x^2+tfrac920xr]3^6 =1,35-1,0125 =0,3375

Passo 4

Definimos a função distribuição F(x). Para 0<= x<=2:
F(x)=integral0^xl(tfrac110t+tfrac110r)dt =x^2+2x20
Em x=2 F(2)=0,4, menor que 0,5, logo a mediana m>2. Para 2<x<=6:
F(x)=0,4 +integral2^xl(-tfrac340t+tfrac920r)dt =-tfrac380x^2+tfrac920x-0,35
Impondo F(m)=0,5 obtemos a equação
-tfrac380m^2+tfrac920m-0,35=0,5 ;Longrightarrow; 3m^2-36m+68=0 ;Longrightarrow; m=18pm2raiz303
Só a raiz menor l(18-2raiz30r)/3approx2,3487 cai em (2,6]. Então
mapprox2,3487(milhares) Longrightarrow R$2.348,66

Resposta

(a) milhares de reais ( R$ ).
(b) .
(c) Mediana milhares de reais ( R$ ).

Exercícios relacionados