Questão 10 - Determine a equação do plano que passa pelo ponto P=(1,-1 / 2,3) e é paralelo ao plano -x+2 z=2.

Passo 1

O enunciado pede a equação do plano que passa por P=(1,-\tfrac{1}{2},3) e é paralelo ao plano dado
-\,x + 2\,z = 2.
Conteúdo: em geometria analítica de espaços, planos são paralelos se e só se têm o mesmo vetor normal. A equação geral de um plano em \mathbb{R}^3 é
a\,x + b\,y + c\,z = D,
onde (a,b,c) é o vetor normal.

Passo 2

Identificamos o vetor normal do plano dado lendo os coeficientes de x,y,z. No plano
-\,x + 2\,z = 2
o coeficiente de y é zero, logo
\mathbf{n}=(-1,0,2).

Passo 3

Um plano paralelo deve ter o mesmo normal \mathbf{n}=(-1,0,2). Então sua equação geral é
-\,x + 0\,y + 2\,z = D,
ou simplesmente
-\,x + 2\,z = D,
em que D é constante a determinar.

Passo 4

Para que esse plano passe por P=(1,-\tfrac{1}{2},3), substituímos as coordenadas de P na equação:
-\,\bigl(1\bigr) + 2\cdot\bigl(3\bigr) = D \quad\Longrightarrow\quad -1 + 6 = D \quad\Longrightarrow\quad D = 5.

Resposta

A equação do plano procurado é
-\,x + 2\,z = 5.

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