Resolva as equações
log 2(x+1)+log 2(2 x+2)=7

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação
log2(x+1) + log2(2x+2) = 7
O conteúdo principal é a propriedade de logaritmos que diz
loga u + loga v = loga(u,v),
e também vamos usar a definição de logaritmo para transformar em equação exponencial.

Passo 2

Precisamos garantir o domínio dos logaritmos:
x+1 > 0 e 2x+2 > 0
Ambas dão x>-1. Logo, trabalharemos apenas com x>-1.

Passo 3

Aplicando a soma de logaritmos, temos
log2l((x+1)(2x+2)r)=7

Passo 4

Simplificamos o produto:
(x+1)(2x+2)=2(x+1)^2,
então
log2l(2(x+1)^2r)=7
Como log22=1 e log2(u^2)=2log2u, podemos escrever
1 + 2log2(x+1)=7 Longrightarrow 2log2(x+1)=6 Longrightarrow log2(x+1)=3
Transformando em exponencial:
x+1 = 2^3=8 Longrightarrow x=7
Também poderíamos ter ido por (x+1)^2=64 e obtido x+1=pm8, i.e.\ x=7 ou x=-9.

Passo 5

Verificamos o domínio x>-1. A solução x=-9 não satisfaz, restando
x=7

Resposta

x = 7

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