Questão 10. Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergenge.(SÉRIES ABSOLUTAMENTE CONVERGENTES)
\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^{n-1} \frac{1}{2 n^{2}+3 n+5};

Passo 1

O enunciado pede para classificar a série
\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^{n-1}\frac{1}{2n^{2}+3n+5}
como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Para isso vamos primeiro estudar a convergência da série dos valores absolutos
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2n^{2}+3n+5}
usando o teste de comparação com uma p-série.

Passo 2

Note que, para todo n\ge1, temos
2n^{2}+3n+5 \ge 2n^{2} \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{2n^{2}+3n+5} \le \frac{1}{2n^{2}}.
Então
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2n^{2}+3n+5} \le \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2n^{2}} = \tfrac12\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}.
Como \sum_{n=1}^{\infty}1/n^{2} é convergente (p-série com p=2>1), pela comparação a série dos módulos também converge.

Passo 3

Como
\sum_{n=1}^{\infty}\biggl|\;(-1)^{n-1}\frac{1}{2n^{2}+3n+5}\biggr| =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2n^{2}+3n+5}
é convergente, concluímos que a série original é absolutamente convergente.

Resposta

A série é absolutamente convergente.

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